复变函数的哈代空间 1. 基础概念引入 哈代空间是复变函数论中研究单位圆盘上解析函数的重要函数空间。设f(z)在单位圆盘|z|<1内解析，对0 <p≤∞，定义其哈代范数为： ‖f‖ p = sup {0<r<1} [ 1/(2π)∫ 0^{2π} |f(re^{iθ})|^p dθ ]^{1/p} 当p=∞时，‖f‖ ∞ = sup_ {|z|<1} |f(z)|。满足‖f‖_ p < ∞的解析函数全体称为哈代空间H^p。 2. 边界性质与Fatou定理 每个H^p函数几乎处处具有径向边界极限f* (e^{iθ}) = lim_ {r→1} f(re^{iθ})。更精确的Fatou定理表明：单位圆盘上的有界解析函数在圆周几乎处处存在非切向极限，且边界函数属于L^p(∂D)。这一性质建立了圆盘内解析函数与圆周上可测函数的对应关系。 3. 内外函数分解 每个H^p函数可唯一分解为f = IF的形式： 内函数I(z) = B(z)S(z)，其中Blaschke乘积B(z)吸收所有零点，奇异函数S(z)与奇异测度关联 外函数F(z) = exp[ ∫_ 0^{2π} (e^{iθ}+z)/(e^{iθ}-z) log φ(θ) dθ] 由边界模|f* |决定 该分解揭示了哈代空间函数的精细结构，将函数性质分解为零点分布、边界模增长和奇异部分三个独立因素。 4. 共轭函数与M. Riesz定理 若f∈H^p (1<p<∞)，则其调和共轭也属于H^p。M. Riesz定理证明存在常数C_ p使得‖f‖_ p ≤ C_ p ‖Ref‖_ p，这表明实部与虚部在H^p范数下等价。该定理是调和分析与复分析的重要桥梁，奠定了H^p空间在傅里叶分析中的应用基础。 5. 对偶空间表征 当1≤p<∞时，(H^p)* ≅ H^q (1/p+1/q=1)，其中配对通过边界函数的积分实现。特别地，H^1的对偶是BMOA（有界平均振动解析函数空间），这一深刻结果反映了哈代空间与实分析中Hardy-Littlewood理论的紧密联系。 6. 应用拓展 哈代空间理论在控制论（系统稳定性分析）、信号处理（谱分解）和概率论（鞅理论）等领域有重要应用。例如在工程中，H^∞控制理论利用有界解析函数空间研究鲁棒稳定性，体现了复变函数理论与实际问题的深刻结合。