复变函数的全纯自同构群 1. 基本概念引入 全纯自同构群是复变函数论与几何理论交叉的重要概念。设Ω是复平面ℂ中的区域，其全纯自同构群Aut(Ω)定义为由Ω到自身的所有双全纯映射（即全纯且逆映射也全纯的映射）构成的群。群运算为映射复合，单位元是恒等映射id(z)=z。 2. 典型区域的群结构分析 单位圆盘𝔻={z:|z|<1}：Aut(𝔻)由分式线性变换构成，具体形式为e^{iθ}(z-a)/(1-\bar{a}z)，其中|a| <1, θ∈ℝ。这表明该群可刻画为三维李群。 复平面ℂ：Aut(ℂ)由仿射变换z→az+b构成(a≠0)，是二维复李群。 扩充复平面ℂ̂=ℂ∪{∞}：Aut(ℂ̂)是所有莫比乌斯变换构成的群，同构于射影线性群PGL(2,ℂ)。 3. 几何与代数的内在联系 全纯自同构群的维度反映区域的几何刚性： 若Ω是双全纯等价于有界区域的区域，则Aut(Ω)是有限维实李群（嘉当定理） 区域边界的光滑性会影响自同构群的结构，例如若∂Ω是C²光滑强伪凸边界，则Aut(Ω)紧致 齐性区域（任意两点可通过自同构映射互化）的自同构群具有可迁性 4. 广义黎曼映射定理的视角 经典黎曼映射定理保证单连通区域与单位圆盘双全纯等价，但自同构群研究揭示更精细结构： 若Ω≠ℂ且单连通，则存在双全纯映射f:Ω→𝔻，此时Aut(Ω)通过f与Aut(𝔻)共轭 多连通区域的自同构群可能平凡（仅含恒等映射），如环形区域{r<|z| <R}当r≠0时的自同构群仅包含旋转 5. 向量场与无穷小生成元 将自同构群李代数化是深入研究的核心方法： 全纯向量场X=h(z)d/dz称为Ω上的完备场，若其流保持Ω不变 Aut(Ω)的李代数由所有满足h∂/∂z的全纯向量场构成，其中h在Ω上全纯且满足特定边界条件 例如在单位圆盘上，李代数基为{1, z, z²}对应的向量场，对应旋转、膨胀和特殊变换 6. 边界正则性与群紧致性 研究自同构群需考虑边界行为： 若Ω是有界域且边界局部连通，则Aut(Ω)的紧致性等价于该群不包含非常值的单参数子群 通过边界点的轨道分析可判断自同构群的传递性 对于伪凸域，自同构群在Bergman度量下等距，这建立了微分几何与函数论的深刻联系 7. 高维推广与现代发展 全纯自同构群理论可推广到多复变函数领域： 在ℂⁿ(n>1)中，有界对称域的分类与自同构群表示密切相关（嘉当域分类） 非齐性有界域的自同构群可能非紧，这引发了不变度量和几何不变子空间的研究 当前研究聚焦于CR流形的自同构群与刚性定理，例如在强伪凸流形上自同构群的李群结构定理