模的Krull-Schmidt定理 模的Krull-Schmidt定理是模论中关于模分解的基本定理。它指出，在一定条件下，一个模可以唯一地分解为有限个不可分解模的直和。 第一步：理解模与直和分解 模是环上的代数结构，可视为向量空间的推广（标量取自环而非域）。 直和分解指将一个模\( M \)表示为子模的直和：\( M = M_ 1 \oplus M_ 2 \oplus \cdots \oplus M_ n \)，其中每个\( M_ i \)是\( M \)的子模，且\( M \)中任意元素可唯一表示为各\( M_ i \)中元素的和。 第二步：定义不可分解模 若模\( M \)不能写成两个非零子模的直和（即不存在\( M \cong N \oplus P \)且\( N, P \neq 0 \)），则称\( M \)不可分解。 例如，整数环\( \mathbb{Z} \)上的模\( \mathbb{Z} \)本身是不可分解的，因为其任意两个非零子模的交非零。 第三步：Krull-Schmidt定理的条件 定理要求模满足 有限长度条件 （即模及其子模构成的链长度有限），或更一般地，模的自同态环是 局部环 （环中非可逆元的集合构成理想）。 常见情形：若模是诺特模且阿廷模（满足升链和降链条件），则自动满足有限长度条件。 第四步：定理的表述 设\( M \)是满足上述条件的模，则： \( M \)可分解为有限个不可分解模的直和：\( M \cong M_ 1 \oplus M_ 2 \oplus \cdots \oplus M_ k \)。 分解在同构意义下唯一：若另有分解\( M \cong N_ 1 \oplus N_ 2 \oplus \cdots \oplus N_ l \)，则\( k = l \)，且存在置换\( \sigma \)使得\( M_ i \cong N_ {\sigma(i)} \)。 第五步：证明思路 存在性：通过递归分解模，利用有限长度条件确保过程终止。 唯一性：使用 Fitting引理 （若模不可分解，其自同态环中幂等元仅有0和1），并通过比较直和分量的同态映射构造同构。 第六步：应用与意义 定理将模的结构分类问题简化为不可分解模的分类，广泛应用于表示论（如群表示、代数表示）。 例如，在有限群表示中，群代数的模分解可通过该定理唯一确定不可分解表示。 第七步：局限性 定理不适用于无限长度模（如无限维向量空间）或自同态环非局部的情况。 对于无限直和分解，需更复杂的工具（如Azumaya定理推广）。