复变函数的蒙日-安培方程与复Monge-Ampère方程 1. 背景与动机 复变函数中的蒙日-安培方程（Monge-Ampère Equation）是实分析中经典蒙日-安培方程的复推广，它在复几何、多复变函数和凯勒几何中具有核心地位。该方程用于描述复流形上的度量结构，特别是与凯勒-爱因斯坦度量的存在性密切相关。其基本形式为： \[ \det\left( \frac{\partial^2 u}{\partial z_ i \partial \bar{z}_ j} \right) = f(z), \] 其中 \( u \) 是实值函数，\( f \) 是给定的非负函数，方程关联了凯勒势 \( u \) 与度量曲率。 2. 复Monge-Ampère方程的定义 在单复变函数中，方程可简化为： \[ u_ {z\bar{z}}^2 = f(z), \quad \text{或更常见的形式} \quad u_ {z\bar{z}} = g(z), \] 但多复变情形的核心在于 赫斯矩阵 \( (u_ {z_ i \bar{z}_ j}) \) 的行列式。方程要求解函数 \( u \) 是 严格多重次调和函数 （即赫斯矩阵正定），从而定义一个凯勒度量。 3. 与凯勒几何的联系 若 \( \omega = \frac{i}{2} \partial \bar{\partial} u \) 是凯勒形式，则复Monge-Ampère方程等价于要求该度量的体积形式与给定形式 \( f \omega_ 0^n \) 一致： \[ \omega^n = f \omega_ 0^n, \] 其中 \( \omega_ 0 \) 是背景凯勒度量。当 \( f \equiv 1 \) 时，方程描述 凯勒-爱因斯坦度量 ，其里奇曲率为零或常数。 4. 存在性与正则性理论 叶夫格拉夫-卡兹丹定理 ：在紧凯勒流形上，若 \( f \) 光滑且满足积分条件 \( \int_ M f \omega_ 0^n = \int_ M \omega_ 0^n \)，则存在唯一解 \( u \)（需归一化）。 连续度量方法 ：通过逼近技术（如Yau的著名证明）解决 \( f \) 仅连续或退化的情况，关键工具包括 先验估计 （\(C^0\)、\(C^2\)、\(C^{2,\alpha}\) 估计）。 5. 应用举例 卡拉比猜想 ：证明任意紧凯勒流形若第一陈类为零，则存在里奇平坦度量（对应 \( f \equiv 1 \)）。 复蒙日-安培方程在复动力系统 中用于构造不变度量，如 混沌映射 的平衡态分析。 全纯向量丛的稳定性 ：与赫尔墨斯-爱因斯坦度量的存在性相关。 6. 推广与开放问题 非紧流形上的方程 ：需处理边界行为与增长条件（如丘成桐的猜想）。 退化情形 ：当 \( f \) 允许零点时，解的几何意义（如奇点分析）仍是前沿课题。 与PDE理论的交叉 ：复Monge-Ampère方程作为完全非线性方程，其正则性理论依赖深层的实分析工具。 通过以上步骤，你可以理解复Monge-Ampère方程如何从经典PDE自然推广至复几何，并成为连接分析、几何与拓扑的桥梁。