圆的渐屈线与渐伸线的微分几何关系（续二）

1. 回顾基本概念
   圆的渐屈线是圆的所有曲率中心的轨迹，对于圆本身而言，其渐屈线退化为一个点（圆心）。圆的渐伸线则是将一条紧绷的线从圆上解开时，线端点描出的轨迹。渐屈线与渐伸线互为逆运算：渐屈线的渐伸线是原曲线。

2. 参数化关系的深化
   设圆的参数方程为 \(\mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t)\)，其曲率中心恒为圆心 \((0,0)\)。若以圆心为渐屈线的退化点，其渐伸线需通过积分计算。但更一般地，考虑任意曲线的渐屈线 \(\mathbf{e}(t)\) 与其渐伸线 \(\mathbf{s}(t)\) 的关系：

   • 渐伸线方程：

\[ \mathbf{s}(t) = \mathbf{e}(t) + (c - t) \cdot \mathbf{T}_e(t) \]

其中 \(\mathbf{T}_e(t)\) 是渐屈线的单位切向量，\(c\) 为常数。

• 对圆而言，若以圆心为渐屈点，此公式需调整，因为圆的渐屈线退化为点，需直接从其渐伸线定义出发。

3. 曲率中心的传递性
   渐屈线的曲率中心是原曲线的曲率中心，而渐伸线的曲率中心是渐屈线上对应点的位置。具体地：

   • 若原曲线为 \(\mathbf{r}(t)\)，其渐屈线为 \(\mathbf{e}(t)\)（曲率中心轨迹），则渐伸线 \(\mathbf{s}(t)\) 的曲率中心正好是 \(\mathbf{e}(t)\)。
   • 对于圆，其渐伸线的曲率中心是圆心，与圆的渐屈线定义一致。

4. 微分几何的对偶性
   渐屈线与渐伸线满足“切线-法线”对偶：

   • 渐屈线的切线方向是原曲线法线方向，而渐伸线的法线方向是渐屈线的切线方向。
   • 圆的渐伸线任意点法线必通过圆心，这与圆心作为渐屈点的性质相符。

5. 应用示例：圆的渐伸线性质
   圆的渐伸线参数方程为：

\[ \mathbf{s}(t) = (R(\cos t + t\sin t), R(\sin t - t\cos t)) \]

其曲率中心可通过微分计算验证为圆心，体现了渐屈线（圆心）与渐伸线的几何关联。