复变函数的双曲几何与庞加莱度量 基本概念引入 在复分析中，双曲几何通过庞加莱度量将单位圆盘（或上半平面）赋予一个完备的曲率为-1的黎曼度量。设单位圆盘为 \(\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}\)，其庞加莱度量定义为： \[ ds = \frac{2|dz|}{1 - |z|^2} \] 该度量的弧长微元在原点处简化为欧几里得度量，但随着 \(|z| \to 1\)，分母趋近于0，导致度量膨胀，使得边界无限远离内部点。 等距变换与莫比乌斯变换 庞加莱度量的等距变换群由莫比乌斯变换构成： \[ T(z) = e^{i\theta} \frac{z - a}{1 - \overline{a}z}, \quad a \in \mathbb{D} \] 这些变换保持双曲距离不变，且将单位圆盘映射到自身。通过计算度量拉回 \(T^* (ds) = ds\)，可验证等距性。 双曲距离公式 两点 \(z_ 1, z_ 2 \in \mathbb{D}\) 的双曲距离为： \[ \rho(z_ 1, z_ 2) = \operatorname{artanh} \left| \frac{z_ 1 - z_ 2}{1 - \overline{z_ 1}z_ 2} \right| \] 该公式满足三角不等式，且当一点固定于原点时，距离简化为 \(\rho(0, z) = \operatorname{artanh}|z|\)。 几何性质与测地线 庞加莱圆盘中的测地线是垂直于单位圆周的圆弧（或直径）。例如，通过原点的测地线为直线段，而一般测地线为与边界正交的圆弧。双曲三角形的内角和小于 \(\pi\)，面积由缺陷 \(\pi - (\alpha + \beta + \gamma)\) 给出。 与施瓦茨引理的联系 经典施瓦茨引理可推广为双曲版本：若 \(f: \mathbb{D} \to \mathbb{D}\) 解析，则 \[ \rho(f(z), f(w)) \leq \rho(z, w) \] 等号成立当且仅当 \(f\) 为莫比乌斯变换。这表明解析函数是双曲度量下的收缩映射。 应用：正规定则与增长估计 利用庞加莱度量可推导解析函数的增长限制。例如，若 \(f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}\) 避开两个值，则其双曲导数有界，从而导出刘维尔型定理的推广。 上半平面模型 庞加莱上半平面模型 \(\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im} z > 0\}\) 的度量为： \[ ds = \frac{|dz|}{\operatorname{Im} z} \] 通过凯莱变换 \(z \mapsto \frac{z-i}{z+i}\) 与圆盘模型等距对应，便于计算边界为实轴的问题。