可测函数的等度可测性 可测函数的等度可测性是一个描述函数族整体可测性质的术语。为了理解它，我们需要循序渐进地建立基础概念。 首先，回忆 可测函数 的定义。设有一个可测空间 (X, ℱ)，即一个集合 X 配备了一个 σ-代数 ℱ。一个函数 f: X → ℝ 被称为可测的，如果对于实数轴 ℝ 上的每一个博雷尔集 B，其原像 f⁻¹(B) 都属于 σ-代数 ℱ。直观地说，这意味着我们可以用 X 中的可测集来“测量”函数 f 在 ℝ 上的取值行为。 接下来，考虑一个函数族 ℱ = {f_ i: i ∈ I}，其中 I 是一个指标集，族中的每一个函数 f_ i 都是可测的。现在，我们关心的是这个函数族作为一个整体的行为，而不仅仅是单个函数的性质。 等度可测性 的精确定义如下：一个函数族 ℱ 被称为是等度可测的，如果对于每一个实数 ε > 0 和每一个实数 λ，都存在一个可测集 E ⊆ X，使得 E 的测度（如果定义了测度 μ，则指 μ(E)）小于 ε，并且函数族 ℱ 中所有函数在集合 X \ E（即 E 的补集）上的振幅（或者说变化范围）是一致有界的，更具体地说，存在一个常数 M_ λ（可能依赖于 λ），使得对于所有 x ∈ X \ E 和所有 f ∈ ℱ，都有 |f(x)| ≤ M_ λ。一个更常见且等价的定义是关注函数族在“去掉一个小测度集后”的一致有界性或某种一致性质。 为了更深入地理解，我们可以将其与另一个概念—— 等度连续性 进行对比。等度连续性描述的是函数族在定义域上“一致连续”的程度，即对于给定的距离变化，函数值的变化是一致控制的。而等度可测性则关注的是函数族在值域上的“集中”程度，它表明，除了一个测度任意小的集合外，整个函数族的值域是“一致有界”或者“一致不分散”的。它本质上是描述函数族在测度意义下的某种“紧致”或“预紧”性质。 等度可测性在实分析中非常重要，特别是在研究函数序列的各种收敛性（如几乎处处收敛、依测度收敛）以及极限函数的可测性时。例如，一个等度可测的函数族，如果其函数列逐点收敛，那么这个极限函数很可能保留某些良好的可测性质。它是证明诸如维塔利收敛定理等重要结果的关键概念之一，该定理将等度可积性（与积分有关）和等度可测性（与函数值本身有关）结合起来，给出了保证 L¹ 空间收敛的充分条件。