量子力学中的Wigner定理 1. 基本概念 Wigner定理是量子力学对称性理论的基础定理，由尤金·维格纳于1931年提出。该定理建立了对称变换与希尔伯特空间算子的深刻联系。其核心思想是：任何保持概率幅模平方不变的变换（对称变换），必然对应希尔伯特空间中的酉算子或反酉算子。 2. 数学准备 对称变换定义：设存在映射 \( T: \mathcal{H} \to \mathcal{H} \)，满足对任意态矢量 \(|\psi\rangle, |\phi\rangle\) 有 \( |\langle T\psi | T\phi \rangle| = |\langle \psi | \phi \rangle| \)。这种保持内积模不变的映射称为对称变换。 反酉算子：满足 \( \langle A\psi | A\phi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \) 且反线性的算子（\( A(a\psi + b\phi) = a^ A\psi + b^ A\phi \)）。 3. 定理严格表述 Wigner定理断言：对于希尔伯特空间 \(\mathcal{H}\) 上的任意对称变换 \(T\)，存在算子 \(U: \mathcal{H} \to \mathcal{H}\) 满足： \(U\) 是酉算子或反酉算子 对任意射线 \([ \psi]\)，有 \(U[ \psi] = [ T\psi ]\)（即作用在投影空间上与 \(T\) 一致） \(U\) 在相位因子 \(e^{i\theta}\) 范围内唯一确定 4. 证明思路 证明的核心步骤包括： 构造标准正交基 \(\{e_ i\}\)，通过施密特正交化确保 \(Te_ i\) 仍为正交基 定义算子 \(U\) 使 \(Ue_ i = Te_ i\)，并验证其线性或反线性 利用内积守恒性证明 \(U\) 的酉性或反酉性 通过相位调整消除基选择依赖性 5. 物理意义 对称性分类：连续对称（如空间旋转）对应酉算子，离散对称（如时间反演）可能对应反酉算子 守恒律联系：对称变换的生成元对应物理守恒量（如动量、角动量） 量子测量基础：保证不同参考系下概率预测的一致性 6. 推广与深化 射线空间表述：在投影希尔伯特空间（射线空间）中，定理可表述为等距变换诱导酉/反酉实现 李群表示：连续对称群表示理论可视为Wigner定理的无穷维推广 代数框架：在C* -代数中对应自同构的规范实现 7. 应用实例 时间反演对称性：在自旋系统中等价于反酉算子 \(T = UK\)（\(U\) 为酉算子，\(K\) 为复共轭） 粒子置换对称性：全同粒子系统的玻色-费米统计分类源于对称算子的射影表示 相对论量子力学：庞加莱群的表示分类直接依赖Wigner定理的推广形式