Calkin代数与本质谱

1. 背景与动机

   • 在巴拿赫空间X上，有界线性算子全体B(X)构成一个巴拿赫代数。紧算子K(X)是B(X)的闭理想。为研究算子模掉紧算子后的性质，引入Calkin代数：商代数B(X)/K(X)。
   • 本质谱定义为算子在该商代数中的谱，它排除了有限维扰动的影响，反映了算子的深层特征。

2. Calkin代数的定义与结构

   • 设H为可分的无限维希尔伯特空间，K(H)为H上的紧算子理想。Calkin代数定义为商代数B(H)/K(H)，记作Q(H)。
   • 商映射π: B(H) → Q(H)为满射同态，将每个算子T映为其等价类[T] = T + K(H)。
   • Q(H)具有C*-代数结构，其范数由商范数给出：‖[T]‖ = inf{‖T + K‖ : K ∈ K(H)}。

3. 本质谱的定义与性质

   • 算子T ∈ B(H)的本质谱σ_ess(T)定义为其在Calkin代数中的谱，即：
     σ_ess(T) = {λ ∈ C : [T - λI]在Q(H)中不可逆}。
   • 等价刻画：λ ∉ σ_ess(T)当且仅当T - λI是Fredholm算子（即值域闭、核与余核有限维）。
   • 本质谱是紧集，且满足谱映射定理：对任何多项式p，有σ_ess(p(T)) = p(σ_ess(T))。

4. 本质谱的稳定性

   • 本质谱在紧扰动下不变：对任意紧算子K，有σ_ess(T + K) = σ_ess(T)。
   • 这一性质表明本质谱仅依赖于算子的“大尺度”行为，对有限秩扰动不敏感。

5. 应用与推广

   • 在椭圆微分算子的研究中，本质谱可用于分析算子的离散谱与连续谱的分布。
   • 对不可分空间或更一般Banach空间，Calkin代数仍可定义，但性质依赖于空间的结构（如是否具有近似性质）。