哈尔测度的模函数性质 哈尔测度是定义在局部紧群上的一种重要测度，具有平移不变性。然而，当我们考虑非阿贝尔群时，左平移和右平移下的不变性会产生差异，模函数正是描述这种差异的关键工具。 平移不变性与比例因子 设 \( G \) 是一个局部紧群，\( \mu \) 是其上的一个左哈尔测度。对于任意固定的 \( g \in G \)，考虑右平移变换 \( R_ g: G \to G \)，定义为 \( R_ g(h) = hg \)。那么，由右平移拉回的测度 \( \mu \circ R_ g \)（即 \( (\mu \circ R_ g)(E) = \mu(Eg) \)）也是一个左哈尔测度。因为左哈尔测度在正数倍内是唯一的，所以存在一个严格正的常数 \( \Delta(g) > 0 \)，使得对于任意博雷尔集 \( E \)，有： \[ \mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E) \] 这个比例常数 \( \Delta(g) \) 依赖于元素 \( g \)，而不依赖于集合 \( E \)。 模函数的定义 由上述关系定义的函数 \( \Delta: G \to (0, \infty) \) 称为群 \( G \) 的模函数。它定量地描述了左哈尔测度在右平移下的“失真”程度。 模函数是一个连续同态 模函数 \( \Delta \) 具有两个关键性质： 群同态 ：对于任意 \( g, h \in G \)，有 \( \Delta(gh) = \Delta(g)\Delta(h) \)。这可以通过连续应用两次右平移来证明： \[ \mu(Egh) = \Delta(h)\mu(Eg) = \Delta(h)\Delta(g)\mu(E) = \Delta(g)\Delta(h)\mu(E) \] 同时，根据定义有 \( \mu(E(gh)) = \Delta(gh)\mu(E) \)。因此 \( \Delta(gh) = \Delta(g)\Delta(h) \)。 连续性 ：函数 \( \Delta \) 是连续的。这可以从哈尔测度的正则性以及模函数在紧集上的一致连续性（或通过测试在连续紧支撑函数上的积分行为）推导出来。 因此，模函数 \( \Delta \) 是从群 \( G \) 到乘法群 \( (0, \infty) \) 的连续群同态。 幺模群 如果对于所有 \( g \in G \)，都有 \( \Delta(g) = 1 \)，那么左哈尔测度 \( \mu \) 同时也是右哈尔测度（即也是右平移不变的）。满足这一性质的群称为幺模群。 幺模群的例子 ： 所有阿贝尔群（交换群）都是幺模的。 紧群是幺模的（因为 \( \Delta(G) \) 是 \( (0, \infty) \) 的紧子群，只能是 \(\{1\}\))。 离散群是幺模的（计数测度既是左也是右不变的）。 半单李群是幺模的。 右哈尔测度与模函数 如果 \( \mu \) 是左哈尔测度，那么通过模函数进行修正，可以得到一个右哈尔测度 \( \nu \)。 一种常见的定义是 \( d\nu(g) = \Delta(g)^{-1} d\mu(g) \)。可以验证，对于任意 \( h \in G \)，有： \[ \nu(R_ h(E)) = \int_ {R_ h(E)} \Delta(g)^{-1} d\mu(g) = \int_ E \Delta(gh)^{-1} d\mu(gh) = \int_ E \Delta(g)^{-1}\Delta(h)^{-1} \Delta(h) d\mu(g) = \nu(E) \] 这表明 \( \nu \) 是右平移不变的，即是一个右哈尔测度。 在积分变换公式中的应用 模函数出现在与群运算相关的积分变换公式中。最重要的公式之一是： \[ \int_ G f(g^{-1}) d\mu(g) = \int_ G f(g) \Delta(g)^{-1} d\mu(g) \] 其中 \( f \) 是一个可积函数。这个公式在调和分析中非常基本，它将求逆运算与模函数联系起来。 总结来说，哈尔测度的模函数是刻画群结构（特别是其非交换性）如何影响其固有测度的一个基本不变量。它连接了左不变与右不变测度，并在群上的积分学中扮演着关键角色。