复变函数的黎曼ζ函数与素数分布 我将为您讲解复变函数中一个极为重要的特殊函数——黎曼ζ函数。这个函数在解析数论中有着核心地位，特别是它与素数分布之间的深刻联系。 1. ζ函数的定义与基本性质 黎曼ζ函数最初定义为： ζ(s) = ∑ₙ₌₁∞ 1/nˢ，其中s为复数 这个级数在Re(s) > 1时绝对收敛。当s为实数时，这就是我们熟悉的实数ζ函数。 关键点 ： 定义域：Re(s) > 1（保证级数收敛） 欧拉乘积公式：ζ(s) = ∏ₚ(1-p⁻ˢ)⁻¹，其中p取遍所有素数 这个乘积形式揭示了ζ函数与素数之间的本质联系 2. 解析延拓与函数方程 黎曼的重要贡献是将ζ函数解析延拓到整个复平面（除s=1外）： 延拓方法 ： 通过围道积分表示：ζ(s) = Γ(1-s)/(2πi) ∮_ C (-z)ˢ/(e^z-1) dz/z 或者通过函数方程：ζ(s) = 2ˢπˢ⁻¹sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s) 性质 ： s=1是单极点，留数为1 负偶整数点是平凡零点：ζ(-2n)=0（n=1,2,3,...） 函数方程显示了对称性：ζ(s)与ζ(1-s)的关系 3. 非平凡零点与黎曼猜想 非平凡零点 ： 位于临界带0 < Re(s) < 1内的零点 函数方程表明它们关于Re(s)=1/2对称分布 黎曼猜想（未解决） ： 所有非平凡零点的实部都是1/2，即都位于临界线Re(s)=1/2上 重要性 ： 如果黎曼猜想成立，将给出素数分布的最精确估计 与数论的许多重要问题密切相关 4. 与素数分布的联系 显式公式 ： ψ(x) = x - ∑_ ρ x^ρ/ρ - ln(2π) - 1/2 ln(1-x⁻²) 其中ψ(x)是切比雪夫函数，ρ取遍ζ函数的非平凡零点 素数定理的证明 ： ζ函数在Re(s)=1上没有零点 这保证了素数定理π(x) ~ x/ln(x)的正确性 零点的分布直接影响素数分布的误差项 5. 推广与相关函数 狄利克雷L函数 ： L(s,χ) = ∑ₙ₌₁∞ χ(n)/nˢ 是ζ函数的推广，用于研究算术级数中的素数分布 ** Dedekind ζ函数** ： ζ_ K(s) = ∑_ 𝔞 1/N(𝔞)ˢ 代数数域的推广，其中𝔞取遍数域K的理想 黎曼ζ函数是连接复分析与数论的桥梁，其性质深刻影响了现代数学的发展。对它的研究仍在继续，特别是关于零点分布的性质。