博雷尔-σ-代数的乘积结构 动机与背景 在实变函数与测度论中，我们经常需要处理多维空间（如 ℝⁿ）或更一般乘积空间上的测度问题。例如，研究二元函数 \( f(x, y) \) 的积分时，需明确其定义域的测度结构。博雷尔-σ-代数的乘积结构（product σ-algebra）正是描述由多个可测空间生成的乘积空间的可测集的方法。其核心问题是：如何由每个分量空间的σ-代数自然构造乘积空间的σ-代数？ 定义：乘积σ-代数 设 \( (X, \mathcal{A}) \) 和 \( (Y, \mathcal{B}) \) 为两个可测空间。乘积σ-代数 \( \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \) 是 \( X \times Y \) 上满足以下条件的最小σ-代数： 对所有 \( A \in \mathcal{A} \) 和 \( B \in \mathcal{B} \)， 可测矩形 （measurable rectangle）\( A \times B \) 是 \( \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \) 中的集合。 等价地，\( \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \) 是由集合族 \( \{A \times B \mid A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}\} \) 生成的σ-代数。 注意 ：并非所有乘积空间中的可测集都是矩形，σ-代数还包含可测矩形的可数并、交、差等操作得到的集合。 关键性质：截面原理与可测性 乘积σ-代数的结构可通过 截面 （sections）来刻画： 对任意 \( E \subseteq X \times Y \)，定义 \( x \)-截面 \( E_ x = \{ y \in Y \mid (x, y) \in E \} \)； 类似定义 \( y \)-截面 \( E^y = \{ x \in X \mid (x, y) \in E \} \)。 定理 ：若 \( E \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \)，则对任意 \( x \in X \)，有 \( E_ x \in \mathcal{B} \)；对任意 \( y \in Y \)，有 \( E^y \in \mathcal{A} \)。这一性质是验证函数可测性或证明富比尼定理的基础。 与博雷尔σ-代数的关系 当 \( X = \mathbb{R}^m \)，\( Y = \mathbb{R}^n \)，且 \( \mathcal{A} \)、\( \mathcal{B} \) 分别为其博雷尔σ-代数时，需比较： 乘积博雷尔σ-代数 \( \mathcal{B} {\mathbb{R}^m} \otimes \mathcal{B} {\mathbb{R}^n} \)； \( \mathbb{R}^{m+n} \) 上的博雷尔σ-代数 \( \mathcal{B} {\mathbb{R}^{m+n}} \)。 结论 ：总有 \( \mathcal{B} {\mathbb{R}^m} \otimes \mathcal{B} {\mathbb{R}^n} \subseteq \mathcal{B} {\mathbb{R}^{m+n}} \)，但当 \( m, n \) 有限时，两者相等；在无穷维空间中可能严格包含。此性质影响高维测度与积分的一致性。 应用：富比尼定理的基石 乘积σ-代数的定义确保了截面可测性，从而允许在迭代积分中交换顺序。例如，若 \( f: X \times Y \to \mathbb{R} \) 是 \( \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \)-可测函数，则： 对每个 \( x \in X \)，函数 \( y \mapsto f(x, y) \) 是 \( \mathcal{B} \)-可测的； 对每个 \( y \in Y \)，函数 \( x \mapsto f(x, y) \) 是 \( \mathcal{A} \)-可测的。 这一性质直接支撑富比尼定理中积分交换的条件。 扩展：无穷乘积空间 乘积结构可推广至可数多个可测空间 \( (X_ i, \mathcal{A} i) {i=1}^\infty \)。其乘积σ-代数 \( \bigotimes_ {i=1}^\infty \mathcal{A} i \) 由所有 柱集 （cylinders）生成，即形如 \( A_ 1 \times A_ 2 \times \cdots \times A_ n \times X {n+1} \times \cdots \) 的集合。该结构在概率论（随机过程）和分析中至关重要。