动态资产定价理论（Dynamic Asset Pricing Theory） 动态资产定价理论是金融数学的核心分支，研究资产价格如何随时间演变并在不确定性下被合理定价。其核心思想是将资产价格建模为随机过程，并通过无套利原则和均衡分析推导定价规则。下面从基础概念到高级模型逐步展开： 1. 理论基础：无套利与随机过程 无套利原则 ：如果市场不存在套利机会（即无风险利润），则资产价格必须满足某种一致性条件。这是所有动态定价模型的基石。 随机过程建模 ：资产价格（如股票）被视为随机过程，例如几何布朗运动： \( dS_ t = \mu S_ t dt + \sigma S_ t dW_ t \) 其中 \( W_ t \) 是布朗运动，代表随机冲击。 贴现与风险中性测度 ：通过测度变换（如Girsanov定理），将真实概率测度转换为风险中性测度 \( \mathbb{Q} \)，使得资产贴现价格成为鞅（未来期望等于当前值）。 2. 离散时间模型：多期二叉树 多期扩展 ：将单期二叉树扩展到多期，模拟价格路径的分支结构。 动态对冲 ：在每个时间步调整投资组合（如股票与无风险资产），以复制期权收益，从而确定其价格。 递归定价 ：期权价格通过反向递推计算： \( V_ t = e^{-r \Delta t} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[ V_ {t+\Delta t} \mid \mathcal{F}_ t ] \) 其中 \( \mathcal{F}_ t \) 是时间 \( t \) 的信息集。 3. 连续时间模型：随机微分方程与偏微分方程 伊藤引理的应用 ：若资产价格服从随机过程，期权价格 \( f(S_ t, t) \) 满足： \( df = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu S_ t \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_ t^2 \frac{\partial f}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S_ t \frac{\partial f}{\partial S} dW_ t \)。 布莱克-舒尔斯偏微分方程 ：通过构造无风险组合（持有期权并空头 \( \frac{\partial f}{\partial S} \) 份股票），推导出定价PDE： \( \frac{\partial f}{\partial t} + r S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial f}{\partial S^2} = r f \)。 鞅表示定理 ：在风险中性测度下，期权价格可表示为贴现收益的期望： \( f(t, S_ t) = \mathbb{E}^\mathbb{Q}[ e^{-r(T-t)} \Phi(S_ T) \mid \mathcal{F}_ t ] \)。 4. 广义框架：随机贴现因子（SDF） 定价核（Pricing Kernel） ：引入随机贴现因子 \( M_ t \)，将未来现金流贴现为当前价格： \( P_ t = \mathbb{E} t \left[ M {T} \cdot \text{Payoff}_ T \right ] \)。 与风险中性测度的关系 ：SDF与风险中性测度满足 \( M_ T = e^{-rT} \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \)，其中 \( \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \) 是Radon-Nikodym导数。 经济解释 ：SDF蕴含市场对风险的态度，例如通过消费资本资产定价模型（CCAPM）将贴现因子与边际效用关联。 5. 多资产与跨期选择 状态价格密度 ：在完备市场中，存在唯一SDF；在不完备市场中，需通过均衡或校准确定。 动态规划 ：在跨期投资组合选择中，使用贝尔曼方程最大化终身效用，导出最优消费与资产配置策略。 扩展模型 ： 随机波动率 （如Heston模型）：波动率本身是随机过程，更符合市场观察。 随机利率 ：利率随时间变化，影响债券及利率衍生品定价。 跳跃过程 ：引入泊松跳跃模拟市场突变（如Merton跳跃扩散模型）。 6. 应用与前沿 衍生品定价 ：为奇异期权（如障碍期权、亚式期权）提供动态对冲策略。 资产配置 ：基于动态风险偏好调整投资组合。 市场微观结构 ：结合高频交易数据研究价格形成的动态过程。 机器学习结合 ：使用强化学习解决高维动态定价问题。 动态资产定价理论通过将时间、不确定性及市场无套利条件数学化，为金融决策提供了统一框架，是现代金融工程的基石。