傅立叶余弦展开方法（Fourier Cosine Expansion Method, COS Method）
字数 1961 2025-11-07 12:33:26

傅立叶余弦展开方法（Fourier Cosine Expansion Method, COS Method）

1. 方法背景与核心思想

傅立叶余弦展开方法（COS方法）是一种基于傅立叶级数的高效数值定价技术，由Fang和Oosterlee于2008年提出。它的核心思想是：利用概率密度函数的特征函数（傅立叶变换）和余弦级数展开，直接计算期权定价积分。与传统数值方法（如蒙特卡洛或有限差分法）相比，COS方法在计算欧式期权、甚至某些路径依赖期权时能达到指数级收敛速度，显著提升计算效率。

2. 数学基础：特征函数与余弦展开

（1）特征函数（Characteristic Function）

对于随机变量（如资产价格的对数收益率 \(X = \ln S_T\)），其特征函数定义为：

\[\phi(u) = \mathbb{E}\left[e^{iuX}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{iux} f(x) \, dx \]

其中 \(f(x)\) 是概率密度函数。特征函数是密度函数的傅立叶变换，许多金融模型（如Heston、VG、跳跃扩散模型）的特征函数有解析形式，即使密度函数未知也可直接使用。

（2）余弦级数展开

若 \(f(x)\) 在有限区间 \([a, b]\) 外近似为零，可通过余弦级数逼近：

\[f(x) \approx \frac{2}{b-a} \sum_{k=0}^{N-1} ' F_k \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right) \]

其中：

  • \(F_k = \int_a^b f(x) \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right) dx\) 是傅立叶余弦系数；
  • 符号 \(\sum'\) 表示首项系数减半（即 \(k=0\) 项乘以 \(1/2\)）。

3. COS方法的定价公式推导

以欧式看涨期权为例，定价公式为：

\[V = e^{-rT} \mathbb{E}\left[ \max(S_T - K, 0) \right] \]

令 \(X = \ln S_T\)，执行价 \(K\) 对应 \(x_K = \ln K\)，则收益函数 \(g(x) = \max(e^x - K, 0)\)。

关键步骤：

  1. 截断积分区间：选择 \([a, b]\) 覆盖 \(X\) 的主要概率区域（例如通过标准差缩放）。
  2. 余弦系数计算：
    • 密度函数的余弦系数 \(F_k\) 可通过特征函数解析表达：

\[ F_k \approx \operatorname{Re} \left\{ \phi\left( \frac{k\pi}{b-a} \right) e^{-i\frac{k\pi a}{b-a}} \right\} \]

  • 收益函数的余弦系数 \(G_k = \frac{2}{b-a} \int_a^b g(x) \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right) dx\) 有解析解（例如看涨期权的 \(G_k\) 可通过积分公式直接计算）。
  1. 定价公式：

\[ V \approx e^{-rT} \sum_{k=0}^{N-1} ' F_k G_k \]

4. 计算效率与收敛性

  • 指数收敛：若密度函数光滑且区间 \([a, b]\) 选择合理，误差随 \(N\) 增加呈指数下降。
  • 复杂度：仅需 \(O(N)\) 次运算，且 \(N\) 通常较小（几十项即可达到高精度），远快于蒙特卡洛（\(O(1/\sqrt{M})\)）或有限差分法（网格依赖）。

5. 应用扩展

COS方法可推广至：

  • 路径依赖期权：如亚式期权、障碍期权，通过递归计算条件特征函数。
  • 早期行权期权：结合最小二乘蒙特卡洛（LSM）思想，处理美式期权。
  • 多资产期权：利用多维余弦展开，但需注意维度诅咒（通常限于低维问题）。

6. 数值示例

以Heston模型下的欧式看涨期权为例：

  1. 输入模型参数（波动率均值回归速度、长期方差等）。
  2. 计算Heston模型的特征函数 \(\phi(u)\)。
  3. 设定区间 \([a, b] = [\ln S_0 - 10\sqrt{T}, \ln S_0 + 10\sqrt{T}]\) 和项数 \(N=64\)。
  4. 通过COS公式直接计算价格，与解析解或蒙特卡洛结果对比，误差通常小于 \(10^{-6}\)。

总结

COS方法通过结合特征函数的解析性和余弦展开的数值效率，为复杂模型下的期权定价提供了“免密度函数”的高精度计算框架，已成为金融工程中重要的数值工具之一。

傅立叶余弦展开方法（Fourier Cosine Expansion Method, COS Method） 1. 方法背景与核心思想 傅立叶余弦展开方法（COS方法）是一种基于傅立叶级数的高效数值定价技术，由Fang和Oosterlee于2008年提出。它的核心思想是： 利用概率密度函数的特征函数（傅立叶变换）和余弦级数展开，直接计算期权定价积分 。与传统数值方法（如蒙特卡洛或有限差分法）相比，COS方法在计算欧式期权、甚至某些路径依赖期权时能达到指数级收敛速度，显著提升计算效率。 2. 数学基础：特征函数与余弦展开 （1）特征函数（Characteristic Function） 对于随机变量（如资产价格的对数收益率 \(X = \ln S_ T\)），其特征函数定义为： \[ \phi(u) = \mathbb{E}\left[ e^{iuX}\right] = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{iux} f(x) \, dx \] 其中 \(f(x)\) 是概率密度函数。特征函数是密度函数的傅立叶变换，许多金融模型（如Heston、VG、跳跃扩散模型）的特征函数有解析形式，即使密度函数未知也可直接使用。 （2）余弦级数展开 若 \(f(x)\) 在有限区间 \([ a, b ]\) 外近似为零，可通过余弦级数逼近： \[ f(x) \approx \frac{2}{b-a} \sum_ {k=0}^{N-1} ' F_ k \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right) \] 其中： \(F_ k = \int_ a^b f(x) \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right) dx\) 是傅立叶余弦系数； 符号 \(\sum'\) 表示首项系数减半（即 \(k=0\) 项乘以 \(1/2\)）。 3. COS方法的定价公式推导 以欧式看涨期权为例，定价公式为： \[ V = e^{-rT} \mathbb{E}\left[ \max(S_ T - K, 0) \right ] \] 令 \(X = \ln S_ T\)，执行价 \(K\) 对应 \(x_ K = \ln K\)，则收益函数 \(g(x) = \max(e^x - K, 0)\)。 关键步骤： 截断积分区间 ：选择 \([ a, b ]\) 覆盖 \(X\) 的主要概率区域（例如通过标准差缩放）。 余弦系数计算 ： 密度函数的余弦系数 \(F_ k\) 可通过特征函数解析表达： \[ F_ k \approx \operatorname{Re} \left\{ \phi\left( \frac{k\pi}{b-a} \right) e^{-i\frac{k\pi a}{b-a}} \right\} \] 收益函数的余弦系数 \(G_ k = \frac{2}{b-a} \int_ a^b g(x) \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right) dx\) 有解析解（例如看涨期权的 \(G_ k\) 可通过积分公式直接计算）。 定价公式 ： \[ V \approx e^{-rT} \sum_ {k=0}^{N-1} ' F_ k G_ k \] 4. 计算效率与收敛性 指数收敛 ：若密度函数光滑且区间 \([ a, b ]\) 选择合理，误差随 \(N\) 增加呈指数下降。 复杂度 ：仅需 \(O(N)\) 次运算，且 \(N\) 通常较小（几十项即可达到高精度），远快于蒙特卡洛（\(O(1/\sqrt{M})\)）或有限差分法（网格依赖）。 5. 应用扩展 COS方法可推广至： 路径依赖期权 ：如亚式期权、障碍期权，通过递归计算条件特征函数。 早期行权期权 ：结合最小二乘蒙特卡洛（LSM）思想，处理美式期权。 多资产期权 ：利用多维余弦展开，但需注意维度诅咒（通常限于低维问题）。 6. 数值示例 以Heston模型下的欧式看涨期权为例： 输入模型参数（波动率均值回归速度、长期方差等）。 计算Heston模型的特征函数 \(\phi(u)\)。 设定区间 \([ a, b] = [ \ln S_ 0 - 10\sqrt{T}, \ln S_ 0 + 10\sqrt{T} ]\) 和项数 \(N=64\)。 通过COS公式直接计算价格，与解析解或蒙特卡洛结果对比，误差通常小于 \(10^{-6}\)。 总结 COS方法通过结合特征函数的解析性和余弦展开的数值效率，为复杂模型下的期权定价提供了“免密度函数”的高精度计算框架，已成为金融工程中重要的数值工具之一。