量子力学中的Lippmann-Schwinger方程
好的，我们将循序渐进地学习量子力学中的Lippmann-Schwinger方程。
第一步：问题的提出——散射过程的核心
在量子力学中，我们研究的问题主要分为两类：束缚态问题和散射问题。
- 束缚态问题：例如原子中的电子，其波函数在空间中是局域的，能量是离散的（量子化）。这类问题通常用求解本征值的微分方程（如薛定谔方程）来处理。
- 散射问题：例如一束粒子（如电子或光子）射向一个靶（如原子核），粒子与靶发生相互作用后飞向无穷远。在这个过程中，粒子的能量是连续的，我们关心的是粒子被散射到不同方向的概率（即散射截面）。
散射问题的核心难点在于，我们需要描述一个从“遥远的过去”到“遥远的未来”的完整动力学过程。在遥远的过去（t → -∞），入射粒子尚未与靶相互作用，可以视为一个自由的平面波；在遥远的未来（t → +∞），出射粒子已经远离靶，又变成了自由的波包，但其运动方向可能已经改变。
第二步：薛定谔方程的渐进形式
我们考虑一个定态的散射问题，即能量E是给定的。系统的总哈密顿量H可以写为：
\[ H = H_0 + V \]
其中：
- \(H_0\) 是自由粒子的动能算符（例如 \(H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\)），它的本征态是平面波，具有连续的能谱。
- \(V\) 是相互作用势能，我们通常假设它在空间中是局域的，即当粒子远离散射中心时，\(V(\mathbf{r}) \to 0\)。
系统的薛定谔方程为：
\[ (H_0 + V) |\psi\rangle = E |\psi\rangle \]
其中 \(|\psi\rangle\) 是总波函数，它包含了入射波和散射波的信息。我们要求这个波函数满足特定的“边界条件”。这个边界条件不是在空间有限处的边界，而是在无穷远处的渐近行为。物理上，我们要求当粒子远离散射中心时，总波函数 \(|\psi\rangle\) 应该渐近地等于一个入射平面波加上一个出射的球面波：
\[ \psi(\mathbf{r}) \stackrel{r \to \infty}{\sim} e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} + f(\theta, \phi) \frac{e^{i k r}}{r} \]
这里，\(\mathbf{k}\) 是入射波矢，\(e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\) 是入射平面波，\(f(\theta, \phi)\) 称为散射振幅，它包含了散射到不同角度的概率信息。直接求解满足这种复杂边界条件的微分方程是非常困难的。
第三步：从微分方程到积分方程——Lippmann-Schwinger方程的推导
Lippmann-Schwinger方程的精妙之处在于，它将微分方程和边界条件“打包”成了一个积分方程。我们从一个简单的代数变形开始：
将薛定谔方程 \((E - H_0) |\psi\rangle = V |\psi\rangle\) 改写。
如果 \(E\) 不是 \(H_0\) 的本征值（在连续谱中确实如此），那么算符 \((E - H_0)\) 似乎是可逆的。我们可以形式上写出：
\[ |\psi\rangle = (E - H_0)^{-1} V |\psi\rangle \]
但这并不完整，因为它忽略了齐次方程 \((E - H_0) |\phi\rangle = 0\) 的解，即自由粒子平面波解。因此，完整的解应该是一个特解加上齐次解：
\[ |\psi\rangle = |\phi\rangle + (E - H_0)^{-1} V |\psi\rangle \]
其中 \(|\phi\rangle\) 是满足 \((E - H_0) |\phi\rangle = 0\) 的自由粒子态，它代表入射波。
现在，关键的一步是正确处理逆算符 \((E - H_0)^{-1}\)。由于 \(E\) 在 \(H_0\) 的连续谱上，这个逆是奇异的。为了给出明确的数学定义，我们引入一个无穷小的虚部 \(i\epsilon\) （\(\epsilon \to 0^+\)）来“绕开”奇点。这相当于为问题选择了物理上正确的边界条件（出射波）。
这样，我们就得到了Lippmann-Schwinger方程：
\[ |\psi^{(\pm)}\rangle = |\phi\rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i\epsilon} V |\psi^{(\pm)}\rangle \]
这里：
- \(|\phi\rangle\) 是入射态，一个自由平面波。
- \(|\psi^{(+)}\rangle\) 是出射波解，它满足我们之前提到的“入射平面波加出射球面波”的边界条件。符号 \(+i\epsilon\) 保证了散射波是出射的。
- \(|\psi^{(-)}\rangle\) 对应入射波解，在时间反演等问题中也很重要，但最常用的是 \(|\psi^{(+)}\rangle\)。
算符 \(G_0^{(+)}(E) = \frac{1}{E - H_0 + i\epsilon}\) 称为自由粒子的推迟格林函数（或传播子）。
第四步：Lippmann-Schwinger方程的意义与优势
这个积分方程形式比原始的微分方程形式具有几个显著优势：
- 自动包含边界条件：通过引入 \(+i\epsilon\) 所选择的格林函数，方程的解 \(|\psi^{(+)}\rangle\) 自动满足物理上正确的出射波边界条件。我们不再需要手动处理复杂的渐近行为。
- 适用于微扰论：方程非常适合进行迭代求解。如果我们假设相互作用V很弱，我们可以将方程展开：
\[ |\psi^{(+)}\rangle = |\phi\rangle + G_0^{(+)} V |\phi\rangle + G_0^{(+)} V G_0^{(+)} V |\phi\rangle + \cdots \]
这就是著名的**玻恩级数**。第一项是入射波，第二项代表粒子被势场散射一次，第三项代表散射两次，以此类推。
- 与散射振幅的直接联系：将方程投影到坐标表象，并考察r趋于无穷大的渐近行为，可以严格证明，散射振幅 \(f(\theta, \phi)\) 由下式给出：
\[ f(\theta, \phi) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \langle \mathbf{k}‘ | V | \psi^{(+)} \rangle \]
其中 \(\langle \mathbf{r} | \mathbf{k}’ \rangle = e^{i\mathbf{k}’\cdot \mathbf{r}}\) 是出射方向的平面波。这个公式将可观测的散射振幅与方程的解直接联系起来。
第五步：总结与应用
Lippmann-Schwinger方程是量子散射理论的基石。它将散射问题从求解带有复杂边界条件的偏微分方程，转化为求解一个线性积分方程。这个框架是推导各种近似方法（如玻恩近似）的基础，并且可以推广到多通道散射、相对论性量子力学（量子场论）等更复杂的情形。它深刻地揭示了散射过程的本质：总的散射态 \(|\psi^{(+)}\rangle\) 是由自由的入射态 \(|\phi\rangle\) 与由势场V引起的多次散射效应叠加而成。