圆的包络与微分方程的关系（续） 现在我们将深入探讨圆的包络与微分方程之间更具体的联系。假设有一族圆，其方程由参数 \( t \) 表示： \[ F(x, y, t) = (x - h(t))^2 + (y - k(t))^2 - R(t)^2 = 0, \] 其中圆心 \((h(t), k(t))\) 和半径 \(R(t)\) 是光滑函数。包络需同时满足： \[ \frac{\partial F}{\partial t} = -2(x - h(t))h'(t) - 2(y - k(t))k'(t) - 2R(t)R'(t) = 0. \] 化简得： \[ (x - h(t))h'(t) + (y - k(t))k'(t) + R(t)R'(t) = 0. \quad (1) \] 这是一个关于 \(x, y\) 的线性方程。从几何角度看，它表示点 \((x, y)\) 位于以 \((h(t), k(t))\) 为起点的向量 \((h'(t), k'(t))\) 与向量 \((x - h(t), y - k(t))\) 的点积为 \(-R(t)R'(t)\) 的平面上。具体地，若 \(R(t)\) 为常数（即等半径圆族），则 \(R'(t) = 0\)，方程(1)化为： \[ (x - h(t))h'(t) + (y - k(t))k'(t) = 0, \] 这表示点 \((x, y)\) 在圆心处的切向量方向上与圆心到该点的向量垂直，即包络是圆心轨迹的法线包络。 例子 ：考虑圆心沿直线移动的圆族。设 \(h(t) = t, k(t) = 0, R(t) = 1\)，则圆族为： \[ (x - t)^2 + y^2 - 1 = 0. \] 偏导数方程： \[ \frac{\partial F}{\partial t} = -2(x - t) = 0 \implies x = t. \] 代入原方程得 \(y^2 = 1\)，即包络为两条直线 \(y = \pm 1\)。这验证了包络是圆心轨迹（x轴）的法线包络。 若 \(R(t)\) 非常数，方程(1)与圆方程联立后，可消去参数 \(t\) 得到包络的隐式方程。这一过程本质上求解了一个一阶偏微分方程。例如，将圆族视为偏微分方程 \(F(x, y, u(x, y)) = 0\) 的特征曲线，包络则对应方程的奇解。 通过微分方程框架，包络问题可转化为分析向量场或特征线问题，这为处理更复杂的曲线族（如非圆曲线）提供了统一方法。