圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续二十六） 本讲将深入探讨圆的渐开线与渐伸线在Frenet标架下的几何关系，并分析其曲率与挠率的演化规律。 Frenet标架回顾 对于一条光滑的空间曲线，在其上任意一点P，可以定义一个局部正交标架，称为Frenet标架。 该标架由三个单位向量组成： 切向量T ：方向与曲线在该点的瞬时运动方向一致。 主法向量N ：方向指向曲线在该点的曲率中心，即曲线弯曲的方向。定义为T关于弧长参数s的导数方向： N = (dT/ds) / ||dT/ds|| 。 副法向量B ：由T和N的叉积给出： B = T × N 。它垂直于曲线所在的密切平面。 圆的渐伸线的Frenet标架 考虑一个圆的渐伸线。由于其是平面曲线（位于圆所在的平面内），其副法向量B是一个常向量，垂直于该平面。 对于圆的渐伸线，其曲率κ(s) ≠ 0（除了初始点，其曲率趋于无穷大）。 其Frenet标架随时间（或弧长）的变化遵循Frenet-Serret公式。由于是平面曲线，其挠率τ恒为0。 圆的渐屈线（即原圆）的Frenet标架 圆的渐屈线就是原圆本身。圆是一条曲率为常数（κ = 1/R，R为半径）的平面曲线。 其Frenet标架同样由T, N, B组成。主法向量N始终指向圆心。 圆的挠率τ也恒为0。 渐伸线与渐屈线Frenet标架的关键几何关系 这是本讲的核心。设渐屈线（圆）上某点为C(s_ c)，其对应的渐伸线上点为I(s_ i)，其中s_ c和s_ i分别为两曲线以弧长为参数的参数。 切向量关系 ：渐伸线I(s_ i)在点I处的切向量T_ I，与渐屈线C(s_ c)在对应点C处的 主法向量N_ C 平行且同向。这是因为渐伸线的生成定义就是“将缠绕在圆上的绳子绷紧后放开，其端点轨迹的切线方向始终与放开的绳子方向垂直”，而放开的绳子方向正是圆的半径方向，即主法线方向。 主法向量关系 ：渐伸线I(s_ i)在点I处的主法向量N_ I，与渐屈线C(s_ c)在对应点C处的 切向量T_ C 平行但 方向相反 。这是因为渐伸线的曲率中心就是渐屈线上的对应点C，而连线CI的方向既是渐伸线的主法线方向（指向曲率中心），又是渐屈线的半径方向（与切线垂直）。结合切向量关系，可以推导出此结论。 副法向量关系 ：由于两条曲线在同一平面内，它们的副法向量B_ I和B_ C是平行且同向的（都垂直于该平面）。 关系总结与运动学解释 可以将渐伸线I(s_ i)的Frenet标架 {T_ I, N_ I, B_ I} 看作是由渐屈线C(s_ c)的Frenet标架 {T_ C, N_ C, B_ C} 经过一个固定的旋转变换得到的。 具体来说，这个旋转是绕副法向量B轴（即垂直于纸面的轴）旋转了-90度（顺时针90度）。 T_I = N_C N_I = -T_C B_I = B_C 这一简洁的标架变换关系，深刻地揭示了圆的渐开线与渐屈线之间内在的、紧密的微分几何联系。它不仅是点与点的对应（渐屈线是渐伸线的曲率中心轨迹），更是整个局部几何结构（标架）的规则对应。