平行四边形的判定定理

我们先从平行四边形的基本定义开始。平行四边形是两组对边分别平行的四边形。

现在，我们来看如何判定一个四边形是平行四边形。除了根据定义（证明两组对边都平行）之外，还有几个非常重要的判定定理，它们为我们提供了更简便的方法。

定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

• 细致讲解：
  1. 假设我们有一个四边形ABCD，其中AB = CD，并且BC = AD。
  2. 连接四边形的对角线AC。这样就把四边形分成了两个三角形：△ABC和△CDA。
  3. 在△ABC和△CDA中：
     • 已知AB = CD（一组对边相等）
     • 已知BC = AD（另一组对边相等）
     • 而AC是这两个三角形的公共边，所以AC = AC。
  4. 根据三角形全等的“边边边”（SSS）判定准则，我们可以得出△ABC ≌ △CDA。
  5. 因为全等三角形的对应角相等，所以∠BAC = ∠DCA，并且∠BCA = ∠DAC。
  6. 注意∠BAC和∠DCA是直线AB、CD被对角线AC所截形成的内错角。既然这对内错角相等，根据平行线的判定定理，我们可以推出AB // CD。
  7. 同样，∠BCA和∠DAC是直线BC、AD被对角线AC所截形成的内错角。它们相等，所以BC // AD。
  8. 由于AB // CD 且 BC // AD，四边形ABCD的两组对边都分别平行，因此它是平行四边形。

定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

• 细致讲解：
  1. 假设在四边形ABCD中，∠A = ∠C，并且∠B = ∠D。
  2. 我们知道任意四边形的内角和为360度。所以，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
  3. 因为∠A = ∠C，∠B = ∠D，我们可以将上述等式改写为：∠A + ∠B + ∠A + ∠B = 360°，即 2(∠A + ∠B) = 360°。
  4. 由此可以计算出∠A + ∠B = 180°。
  5. ∠A和∠B是同旁内角（位于直线AD和BC被直线AB所截的同一侧）。因为同旁内角互补（∠A + ∠B = 180°），根据平行线的判定定理，我们可以推出AD // BC。
  6. 同理，我们也可以利用内角和关系证明∠A + ∠D = 180°。∠A和∠D是直线AB和CD被直线AD所截的同旁内角，它们互补，所以AB // CD。
  7. 由于AD // BC 且 AB // CD，四边形ABCD是平行四边形。

定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

• 细致讲解：
  1. 假设四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且O是AC和BD的中点，即AO = OC，BO = OD。
  2. 考虑△AOB和△COD。
  3. 在这两个三角形中：
     • AO = OC（已知O是中点）
     • BO = OD（已知O是中点）
     • ∠AOB和∠COD是对顶角，根据对顶角性质，∠AOB = ∠COD。
  4. 根据三角形全等的“边角边”（SAS）判定准则，我们可以得出△AOB ≌ △COD。
  5. 因为全等三角形的对应边相等，所以AB = CD。
  6. 用完全相同的方法，考虑△AOD和△COB，可以证明AD = CB。
  7. 现在我们得到了AB = CD 且 AD = CB，即四边形的两组对边分别相等。根据我们前面讲过的定理一，我们可以直接判定这个四边形是平行四边形。

定理四：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

• 细致讲解：
  1. 这是最常用也最方便的判定定理之一。假设在四边形ABCD中，AB // CD，并且AB = CD。
  2. 连接对角线AC。
  3. 因为AB // CD，所以内错角∠BAC = ∠DCA。
  4. 在△ABC和△CDA中：
     • AB = CD（已知）
     • AC是公共边，所以AC = CA。
     • ∠BAC = ∠DCA（已证）
  5. 根据三角形全等的“边角边”（SAS）判定准则，△ABC ≌ △CDA。
  6. 因为全等三角形的对应边相等，所以BC = AD。
  7. 现在我们有了AB = CD 且 BC = AD，即两组对边分别相等。再次根据定理一，我们可以判定四边形ABCD是平行四边形。

总结
这四条判定定理为我们提供了强大的工具。在证明一个四边形是平行四边形时，我们不需要每次都去证明“两组对边分别平行”，而是可以根据题目给出的已知条件，选择最方便的一条路径来证明。这体现了数学的简洁与优美。