二次型的Hasse-Minkowski定理

1. 从局部到整体的基本思想
   首先，我们考虑一个简单的例子：判断一个整数能否被另一个整数整除。例如，判断15是否能被3整除，只需看15除以3的余数是否为0。这种在"局部"（即模某个数）检查性质的方法，可以推广到更复杂的数学对象，比如二次型。二次型是多个变量的二次齐次多项式，例如 \(Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\)。一个核心问题是：给定一个二次型，它是否在整数（或有理数）范围内表示0？即是否存在不全为零的整数（或有理数）使得二次型的值为0？Hasse-Minkowski定理提供了一个强有力的工具：要判断一个二次型在有理数上是否表示0，可以转化为检查它在"所有"局部域（如实数域和p-ad数域）上是否表示0。

2. 局部域的概念
   局部域是完备的赋值域，主要包括：

   • 实数域 \(\mathbb{R}\)：这是大家熟悉的域，对应"无穷远点"的局部。
   • p-ad数域 \(\mathbb{Q}_p\)：对每个素数p，我们可以构造p-ad数域。在p-ad数域中，两个数"接近"意味着它们的差能被p的高次幂整除。例如，在2-ad数中，16和0很"接近"，因为16能被2^4整除。
     判断二次型在局部域上是否表示0，通常比在有理数上直接判断更容易，因为局部域具有更好的代数性质（如完备性）。

3. Hasse-Minkowski定理的精确表述
   定理：设Q是一个有理数域上的二次型（即系数为有理数）。那么Q在有理数域上表示0（存在不全为零的有理数使得Q=0）当且仅当它在所有局部域（包括实数域和所有p-ad数域）上都表示0。
   这个定理的重要性在于它将一个全局问题（有理数域）分解为无限多个局部问题（每个素数p对应一个p-ad域，再加上实数域），而每个局部问题往往更容易处理。

4. 定理的应用示例
   考虑二次型 \(Q(x, y, z) = x^2 + y^2 - 3z^2\)。我们想判断它是否在有理数上表示0。

   • 在实数域上：显然可以表示0（例如取x=1, y=√2, z=1）。
   • 在2-ad域上：通过计算Hasse不变量（一种局部不变量），可以证明它表示0。
   • 在3-ad域上：由于-3是3-ad平方？实际上需要检查：模3时，方程变为x²+y²≡0 mod 3，而模3的平方只有0和1，因此x和y必须都是3的倍数，然后通过提升论证可以证明在3-ad域上可表示0。
   • 在其他p-ad域上（p≠2,3）：由于p不整除判别式，二次型是"非退化的"，根据局部理论，它自动表示0。
     因此，根据Hasse-Minkowski定理，这个二次型在有理数上表示0。

5. 定理的推广与意义
   Hasse-Minkowski定理是数论中局部-全局原理的典范。它表明，对于二次型表示0的问题，局部信息（在所有完备化域上的行为）完全决定了全局信息（在有理数上的行为）。这个思想后来被推广到更广泛的数学对象，如代数群和代数簇，成为现代数论的核心主题之一。然而，需要注意的是，局部-全局原理并非对所有数学问题都成立，这使得Hasse-Minkowski定理在它适用的范围内显得尤为珍贵。