模形式的艾森斯坦级数的特殊值 我们先从艾森斯坦级数的定义回顾开始。对于偶数 k > 2，权为 k、级为 1 的艾森斯坦级数定义为： \[ G_ k(\tau) = \sum'_ {(m, n) \in \mathbb{Z}^2} \frac{1}{(m\tau + n)^k} \] 其中求和符号上的撇号表示省略 (m, n) = (0, 0) 的项。这个级数在复上半平面 \(\mathbb{H}\) 上绝对收敛，定义了一个权为 k 的模形式。 为了研究其特殊值，我们通常考虑其归一化版本： \[ E_ k(\tau) = \frac{1}{2\zeta(k)} G_ k(\tau) \] 其中 \(\zeta(s)\) 是黎曼ζ函数。归一化后，\(E_ k(\tau)\) 的傅里叶展开具有有理数的傅里叶系数。 艾森斯坦级数的特殊值研究主要分为两个方向：一是其在特殊点（如虚数单位 i、立方单位根 ρ 等）的取值；二是其常数项（即傅里叶展开中的常数项）与ζ函数值的联系。 让我们先看第一个方向。考虑艾森斯坦级数在模形式基本域边界点处的值。例如，在 \(\tau = i\)（对应于椭圆曲线 y² = x³ - x 的复环面）处，\(G_ k(i)\) 可以表示为代数数的倍数。具体计算利用的是以下事实：当 τ 对应于一个具有复乘的椭圆曲线时，其周期是代数数的倍数。 更精确地，对于 τ 是二次无理数（即满足某个二次整数方程）的情况，\(G_ k(\tau)\) 的值可以表示为代数数乘以π的k次幂再乘以一个ζ函数值。例如： \[ G_ 4(i) = \frac{\Gamma(1/4)^8}{960\pi^2} \] 这个表达式显示了特殊值与伽马函数、圆周率等基本常数的深刻联系。 第二个研究方向是常数项的特殊值。在傅里叶展开中： \[ E_ k(\tau) = 1 - \frac{2k}{B_ k} \sum_ {n=1}^\infty \sigma_ {k-1}(n)q^n \] 其中 \(B_ k\) 是伯努利数，\(\sigma_ {k-1}(n) = \sum_ {d|n} d^{k-1}\)，\(q = e^{2\pi i\tau}\)。常数项 1 看似平凡，但实际上隐藏着深刻信息。 当我们考虑艾森斯坦级数在尖点（cusp）处的值时，实际上就是计算其常数项。对于级为 1 的情况，唯一的尖点是 \(\tau = i\infty\)，此时 \(E_ k(i\infty) = 1\)。这个值的有理性（实际上是整数 1）是模形式理论中的重要性质。 更深入的研究考虑艾森斯坦级数的导数值。例如，权为 2 的艾森斯坦级数本身不是模形式（因为级数条件收敛），但可以通过赫克（Hecke）的正则化方法定义。正则化后的 E₂(τ) 虽然不是模形式，但其变换性质与模形式密切相关，且其在特殊点的值也与ζ函数值有关。 一个重要的应用是克朗（Kronecker）极限公式，它研究权为 0 的艾森斯坦级数（通过对数导数等方法构造）在 s=1 处的留数。这个极限值给出了代数数域的重要不变量——判别式的信息。 艾森斯坦级数的特殊值还与 L 函数的特殊值密切相关。对于艾森斯坦级数对应的自守表示，其 L 函数在整数点的值可以表示为艾森斯坦级数在特殊点的值的代数倍数。这一联系是岩泽（Iwasawa）理论和 p 进 L 函数理论的基础。 在更现代的框架下，艾森斯坦级数的特殊值被解释为某些上同调类的周期积分。这种观点将模形式的特殊值与代数几何中的不变量联系起来，为理解它们的算术性质提供了强大工具。 总结来说，艾森斯坦级数的特殊值研究揭示了模形式、代数数论和超越数论之间的深刻联系，这些特殊值不仅是美丽的数学常数，更是理解数论中基本问题的关键。