模形式的自守L函数的朗兰兹函子性猜想 第一步：模形式与自守L函数的基本回顾 模形式是复平面上的全纯函数，满足特定的函数方程和增长条件，通常与上半平面的群作用相关联。每个模形式 \( f \) 可以展开为傅里叶级数 \( f(z) = \sum_ {n\ge0} a_ n e^{2\pi i n z} \)，其系数 \( a_ n \) 蕴含算术信息。通过狄利克雷级数 \( L(f,s) = \sum_ {n\ge1} a_ n n^{-s} \) 构造的L函数称为模形式的自守L函数，它具有解析延拓、函数方程等良好性质。 第二步：自守表示与朗兰兹纲领的关联 模形式可对应到一类称为自守表示的数学对象（例如通过强多重性定理）。朗兰兹纲领提出，所有自守L函数应与另一类L函数——伽罗华群表示的Artin L函数——通过某种对应关系（函子性）联系起来。具体到模形式，其自守L函数 \( L(f,s) \) 应等于某个伽罗华表示 \( \rho: \text{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mathrm{GL}_ 2(\mathbb{C}) \) 的Artin L函数 \( L(\rho,s) \)。 第三步：朗兰兹函子性猜想的核心内容 函子性猜想是朗兰兹纲领的核心组成部分，它断言： 对应关系 ：对于每个自守形式 \( f \)（或其对应的自守表示 \( \pi \)），存在一个伽罗华表示 \( \rho_ \pi \) 使得 \( L(\pi,s) = L(\rho_ \pi,s) \)。 函子性 ：这一对应应保持L函数的代数操作（如直和、张量积、基变换等）。例如，若两个自守表示 \( \pi_ 1, \pi_ 2 \) 通过某个群同态关联，则其对应的伽罗华表示也应通过相应的映射关联。 局部-全局兼容性 ：对应关系在每个素数 \( p \) 的局部域上也应成立，即局部L因子、ε因子等需匹配。 第四步：已知的重要案例 模性定理（谷山-志村-韦伊猜想） ：对于有理椭圆曲线对应的模形式，其自守L函数等于椭圆曲线伽罗华表示的Artin L函数。这为函子性猜想提供了关键证据。 Langlands-Tunnell定理 ：对部分二维伽罗华表示，证明了其Artin L函数来自权为1的模形式。 对称幂L函数 ：通过函子性可构造模形式的高阶对称幂L函数，并研究其解析性质（如由Kim-Shahidi证明的对称四次幂的全纯性）。 第五步：猜想的意义与未解决问题 函子性猜想将分析对象（自守形式）与代数对象（伽罗华表示）统一，为解决数论问题（如BSD猜想、Artin猜想）提供桥梁。但目前仍有许多开放问题： 如何系统构造一般自守表示的伽罗华对应？ 对于高维表示（如 \( \mathrm{GL}_ n \) 当 \( n>2 \)），函子性是否普遍成立？ 如何通过p进霍奇理论等工具验证局部兼容性？ 这一猜想持续推动着模形式、表示论和算术几何的交叉研究。