可测函数序列的几乎一致收敛
字数 3867 2025-11-07 12:33:33

可测函数序列的几乎一致收敛

1. 基本概念回顾与动机
在实变函数理论中，我们已学习过函数序列的“几乎处处收敛”和“依测度收敛”。几乎处处收敛要求序列在除去一个零测集外的每一点都收敛，而依测度收敛描述的是函数值落在极限函数某邻域外的点集的测度随n增大而趋于零。然而，这两种收敛性都不能保证序列在“整体上”或“一致地”接近其极限函数。为了描述一种更强的、类似于一致收敛但又在测度论意义下适当地放宽了的收敛性，我们引入了“几乎一致收敛”。

2. 几乎一致收敛的精确定义
设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(E\) 是一个可测集且 \(\mu(E) < \infty\)。设 \(\{f_n\}\) 和 \(f\) 是定义在 \(E\) 上的实值可测函数（或扩展实值，但要求几乎处处有限）。
我们称函数序列 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎一致收敛 于 \(f\)，如果对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在一个可测子集 \(F_\epsilon \subset E\)，使得同时满足以下两个条件：

  1. \(\mu(E \setminus F_\epsilon) < \epsilon\) （即，被排除的“坏”集合的测度可以任意小）。
  2. 序列 \(\{f_n\}\) 在子集 \(F_\epsilon\) 上一致收敛 于 \(f\) （即，在剩下的“好”集合 \(F_\epsilon\) 上，收敛行为是一致的）。

3. 深入理解定义
这个定义的核心思想是“妥协”。我们不强求序列在整个定义域 \(E\) 上一致收敛（这通常太强，在很多情况下不成立），而是允许我们抛弃一个测度可以任意小的“坏”集合。在这个被抛弃的集合之外，序列必须保持良好的一致收敛性。

  • 与一致收敛的关系：如果序列在 \(E\) 上一致收敛，那么它必然几乎一致收敛（只需取 \(F_\epsilon = E\)，则 \(\mu(E \setminus F_\epsilon) = 0 < \epsilon\)）。反之则不成立。
  • 与几乎处处收敛的关系：几乎一致收敛蕴含着几乎处处收敛（我们稍后会严格证明），但反之则不然。几乎处处收敛只关心每个点“最终”的行为，而几乎一致收敛要求在一个“大的”集合上，收敛的“速度”是均匀的。

4. 几乎一致收敛与几乎处处收敛的关系（Egorov定理）
几乎一致收敛和几乎处处收敛在一个关键条件下是等价的，这个重要结果由Egorov发现。

Egorov定理：设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(E\) 是一个可测集且 \(\mu(E) < \infty\)。如果 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的一列可测函数，并且 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于一个（几乎处处有限的）可测函数 \(f\)，那么 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎一致收敛于 \(f\)。

证明思路（关键步骤）：

  1. 设定目标：要证明对任意 \(\delta > 0\)，存在集合 \(F_\delta\) 使得 \(\mu(E \setminus F_\delta) < \delta\)，且 \(f_n \rightrightarrows f\) 在 \(F_\delta\) 上。
  2. 定义“不一致”的集合：由于是几乎处处收敛，不收敛的点集是零测集，可以忽略。我们关心的是收敛“不够快”的点。对于给定的 \(\epsilon > 0\) 和正整数 \(k, m\)，定义集合：
    \(E_k^{(m)}(\epsilon) = \{ x \in E : |f_n(x) - f(x)| \ge \epsilon \quad \text{对于某个} \quad n \ge m \}\)。
    这个集合包含了所有在 \(m\) 项之后，函数值与极限值之差仍然不小于 \(\epsilon\) 的点。
  3. 利用几乎处处收敛：因为 \(f_n \to f\) a.e. 在 \(E\) 上，对于固定的 \(\epsilon > 0\) 和 \(k\)，当 \(m \to \infty\) 时，点 \(x\) 最终会不再属于 \(E_k^{(m)}(\epsilon)\)。更精确地说，集合列 \(\{E_k^{(m)}(\epsilon)\}_{m=1}^\infty\) 是递减的（即 \(E_k^{(m+1)} \subset E_k^{(m)}\)），并且其交集 \(\bigcap_{m=1}^\infty E_k^{(m)}(\epsilon)\) 是一个零测集（它只包含那些序列不收敛的点）。
  4. 利用测度的上连续性：由于 \(\mu(E) < \infty\)，根据测度的上连续性，有 \(\lim_{m \to \infty} \mu(E_k^{(m)}(\epsilon)) = \mu(\bigcap_{m=1}^\infty E_k^{(m)}(\epsilon)) = 0\)。
  5. 构造“好”集合：对于给定的 \(\delta > 0\)，我们可以对每个 \(k\)（例如取 \(\epsilon = 1/k\)），找到一个足够大的 \(m_k\)，使得 \(\mu(E_k^{(m_k)}(1/k)) < \delta / 2^k\)。
  6. 取“坏”集合的并集：令“坏”集合 \(B_\delta = \bigcup_{k=1}^\infty E_k^{(m_k)}(1/k)\)。则 \(\mu(B_\delta) \le \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k^{(m_k)}(1/k)) < \sum_{k=1}^\infty \delta / 2^k = \delta\)。
  7. 验证“好”集合上的一致收敛性：令“好”集合 \(F_\delta = E \setminus B_\delta\)。在 \(F_\delta\) 上，对于任意 \(\epsilon > 0\)（比如 \(\epsilon = 1/k\)），因为 \(x \notin E_k^{(m_k)}(1/k)\)，所以对于所有 \(n \ge m_k\)，有 \(|f_n(x) - f(x)| < 1/k\)。这正是一致收敛的定义。

重要性：Egorov定理揭示了在有限测度集上，点态收敛（几乎处处收敛）可以“提升”为一种受控的一致收敛（几乎一致收敛）。它也是几乎一致收敛概念重要性的一个关键体现。

5. 几乎一致收敛与依测度收敛的关系
几乎一致收敛是一种比依测度收敛更强的收敛性。

  • 定理：如果函数序列 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎一致收敛于 \(f\)，那么它也在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\)。
  • 证明思路：根据几乎一致收敛的定义，对任意 \(\sigma, \epsilon > 0\)，存在集合 \(F_\sigma\) 使得 \(\mu(E \setminus F_\sigma) < \sigma\) 且 \(f_n \rightrightarrows f\) 在 \(F_\sigma\) 上。由于在 \(F_\sigma\) 上一致收敛，存在 \(N\)，当 \(n \ge N\) 时，对一切 \(x \in F_\sigma\)，有 \(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\)。这意味着集合 \(\{x \in E : |f_n(x) - f(x)| \ge \epsilon\}\) 包含在 \(E \setminus F_\sigma\) 中，所以其测度 \(\le \mu(E \setminus F_\sigma) < \sigma\)。由 \(\sigma\) 的任意性，即证得依测度收敛。

注意：反之不成立。依测度收敛不能推出几乎一致收敛。可以构造反例，例如在 [0,1] 上定义的“游动”的特征函数序列。

6. 总结与关系图
让我们总结一下在有限测度空间上几种主要收敛性之间的关系：

  • 一致收敛 \(\Rightarrow\) 几乎一致收敛 \(\overset{\text{Egorov}}{\Leftrightarrow}\) 几乎处处收敛 (当 \(\mu(E) < \infty\)) \(\Rightarrow\) 依测度收敛。
  • 依测度收敛 \(\Rightarrow\) 存在子序列几乎一致收敛 (这是另一个重要定理，Riesz定理)。

几乎一致收敛的概念在实变函数和概率论中非常有用，它提供了一个介于“一致收敛”（过于理想化）和“点态收敛/依测度收敛”（过于松散）之间的、在理论和应用中都非常有力的工具。

可测函数序列的几乎一致收敛 1. 基本概念回顾与动机 在实变函数理论中，我们已学习过函数序列的“几乎处处收敛”和“依测度收敛”。几乎处处收敛要求序列在除去一个零测集外的每一点都收敛，而依测度收敛描述的是函数值落在极限函数某邻域外的点集的测度随n增大而趋于零。然而，这两种收敛性都不能保证序列在“整体上”或“一致地”接近其极限函数。为了描述一种更强的、类似于一致收敛但又在测度论意义下适当地放宽了的收敛性，我们引入了“几乎一致收敛”。 2. 几乎一致收敛的精确定义 设 \( (X, \mathcal{F}, \mu) \) 是一个测度空间，\( E \) 是一个可测集且 \( \mu(E) < \infty \)。设 \( \{f_ n\} \) 和 \( f \) 是定义在 \( E \) 上的实值可测函数（或扩展实值，但要求几乎处处有限）。 我们称函数序列 \( \{f_ n\} \) 在 \( E \) 上 几乎一致收敛 于 \( f \)，如果对于任意 \( \epsilon > 0 \)，存在一个可测子集 \( F_ \epsilon \subset E \)，使得同时满足以下两个条件： \( \mu(E \setminus F_ \epsilon) < \epsilon \) （即，被排除的“坏”集合的测度可以任意小）。 序列 \( \{f_ n\} \) 在子集 \( F_ \epsilon \) 上 一致收敛 于 \( f \) （即，在剩下的“好”集合 \( F_ \epsilon \) 上，收敛行为是一致的）。 3. 深入理解定义 这个定义的核心思想是“妥协”。我们不强求序列在整个定义域 \( E \) 上一致收敛（这通常太强，在很多情况下不成立），而是允许我们抛弃一个测度可以任意小的“坏”集合。在这个被抛弃的集合之外，序列必须保持良好的一致收敛性。 与一致收敛的关系 ：如果序列在 \( E \) 上一致收敛，那么它必然几乎一致收敛（只需取 \( F_ \epsilon = E \)，则 \( \mu(E \setminus F_ \epsilon) = 0 < \epsilon \)）。反之则不成立。 与几乎处处收敛的关系 ：几乎一致收敛蕴含着几乎处处收敛（我们稍后会严格证明），但反之则不然。几乎处处收敛只关心每个点“最终”的行为，而几乎一致收敛要求在一个“大的”集合上，收敛的“速度”是均匀的。 4. 几乎一致收敛与几乎处处收敛的关系（Egorov定理） 几乎一致收敛和几乎处处收敛在一个关键条件下是等价的，这个重要结果由Egorov发现。 Egorov定理 ：设 \( (X, \mathcal{F}, \mu) \) 是一个测度空间，\( E \) 是一个可测集且 \( \mu(E) < \infty \)。如果 \( \{f_ n\} \) 是 \( E \) 上的一列可测函数，并且 \( \{f_ n\} \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于一个（几乎处处有限的）可测函数 \( f \)，那么 \( \{f_ n\} \) 在 \( E \) 上几乎一致收敛于 \( f \)。 证明思路（关键步骤） ： 设定目标 ：要证明对任意 \( \delta > 0 \)，存在集合 \( F_ \delta \) 使得 \( \mu(E \setminus F_ \delta) < \delta \)，且 \( f_ n \rightrightarrows f \) 在 \( F_ \delta \) 上。 定义“不一致”的集合 ：由于是几乎处处收敛，不收敛的点集是零测集，可以忽略。我们关心的是收敛“不够快”的点。对于给定的 \( \epsilon > 0 \) 和正整数 \( k, m \)，定义集合： \( E_ k^{(m)}(\epsilon) = \{ x \in E : |f_ n(x) - f(x)| \ge \epsilon \quad \text{对于某个} \quad n \ge m \} \)。 这个集合包含了所有在 \( m \) 项之后，函数值与极限值之差仍然不小于 \( \epsilon \) 的点。 利用几乎处处收敛 ：因为 \( f_ n \to f \) a.e. 在 \( E \) 上，对于固定的 \( \epsilon > 0 \) 和 \( k \)，当 \( m \to \infty \) 时，点 \( x \) 最终会不再属于 \( E_ k^{(m)}(\epsilon) \)。更精确地说，集合列 \( \{E_ k^{(m)}(\epsilon)\} {m=1}^\infty \) 是递减的（即 \( E_ k^{(m+1)} \subset E_ k^{(m)} \)），并且其交集 \( \bigcap {m=1}^\infty E_ k^{(m)}(\epsilon) \) 是一个零测集（它只包含那些序列不收敛的点）。 利用测度的上连续性 ：由于 \( \mu(E) < \infty \)，根据测度的上连续性，有 \( \lim_ {m \to \infty} \mu(E_ k^{(m)}(\epsilon)) = \mu(\bigcap_ {m=1}^\infty E_ k^{(m)}(\epsilon)) = 0 \)。 构造“好”集合 ：对于给定的 \( \delta > 0 \)，我们可以对每个 \( k \)（例如取 \( \epsilon = 1/k \)），找到一个足够大的 \( m_ k \)，使得 \( \mu(E_ k^{(m_ k)}(1/k)) < \delta / 2^k \)。 取“坏”集合的并集 ：令“坏”集合 \( B_ \delta = \bigcup_ {k=1}^\infty E_ k^{(m_ k)}(1/k) \)。则 \( \mu(B_ \delta) \le \sum_ {k=1}^\infty \mu(E_ k^{(m_ k)}(1/k)) < \sum_ {k=1}^\infty \delta / 2^k = \delta \)。 验证“好”集合上的一致收敛性 ：令“好”集合 \( F_ \delta = E \setminus B_ \delta \)。在 \( F_ \delta \) 上，对于任意 \( \epsilon > 0 \)（比如 \( \epsilon = 1/k \)），因为 \( x \notin E_ k^{(m_ k)}(1/k) \)，所以对于所有 \( n \ge m_ k \)，有 \( |f_ n(x) - f(x)| < 1/k \)。这正是一致收敛的定义。 重要性 ：Egorov定理揭示了在有限测度集上，点态收敛（几乎处处收敛）可以“提升”为一种受控的一致收敛（几乎一致收敛）。它也是几乎一致收敛概念重要性的一个关键体现。 5. 几乎一致收敛与依测度收敛的关系 几乎一致收敛是一种比依测度收敛更强的收敛性。 定理 ：如果函数序列 \( \{f_ n\} \) 在 \( E \) 上几乎一致收敛于 \( f \)，那么它也在 \( E \) 上依测度收敛于 \( f \)。 证明思路 ：根据几乎一致收敛的定义，对任意 \( \sigma, \epsilon > 0 \)，存在集合 \( F_ \sigma \) 使得 \( \mu(E \setminus F_ \sigma) < \sigma \) 且 \( f_ n \rightrightarrows f \) 在 \( F_ \sigma \) 上。由于在 \( F_ \sigma \) 上一致收敛，存在 \( N \)，当 \( n \ge N \) 时，对一切 \( x \in F_ \sigma \)，有 \( |f_ n(x) - f(x)| < \epsilon \)。这意味着集合 \( \{x \in E : |f_ n(x) - f(x)| \ge \epsilon\} \) 包含在 \( E \setminus F_ \sigma \) 中，所以其测度 \( \le \mu(E \setminus F_ \sigma) < \sigma \)。由 \( \sigma \) 的任意性，即证得依测度收敛。 注意 ：反之不成立。依测度收敛不能推出几乎一致收敛。可以构造反例，例如在 [ 0,1 ] 上定义的“游动”的特征函数序列。 6. 总结与关系图 让我们总结一下在有限测度空间上几种主要收敛性之间的关系： 一致收敛 \(\Rightarrow\) 几乎一致收敛 \(\overset{\text{Egorov}}{\Leftrightarrow}\) 几乎处处收敛 (当 \(\mu(E) < \infty\)) \(\Rightarrow\) 依测度收敛 。 依测度收敛 \(\Rightarrow\) 存在子序列几乎一致收敛 (这是另一个重要定理，Riesz定理)。 几乎一致收敛的概念在实变函数和概率论中非常有用，它提供了一个介于“一致收敛”（过于理想化）和“点态收敛/依测度收敛”（过于松散）之间的、在理论和应用中都非常有力的工具。