复变函数的对数留数定理
对数留数定理是复变函数理论中一个重要的工具，它将函数的零点与极点分布与围道积分联系起来，是辐角原理的推广形式。下面我们逐步展开讲解。
1. 基本概念回顾
- 留数：若函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 有孤立奇点，其洛朗级数展开中 \((z - z_0)^{-1}\) 的系数称为留数，记作 \(\operatorname{Res}(f, z_0)\)。
- 对数导数：对解析函数 \(f(z)\)，其对数导数定义为 \(\frac{f'(z)}{f(z)}\)。若 \(f(z)\) 有零点或极点，该函数会呈现奇点。
2. 零点与极点处的留数性质
设 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处有：
- m 阶零点：\(f(z) = (z - z_0)^m g(z)\)，其中 \(g(z_0) \neq 0\)。
则对数导数为：
\[ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{m}{z - z_0} + \frac{g'(z)}{g(z)}。 \]
由于 \(g(z)\) 解析，\(\frac{g'(z)}{g(z)}\) 在 \(z_0\) 处解析，因此 \(\frac{f'(z)}{f(z)}\) 在 \(z_0\) 处有一阶极点，留数为 \(m\)（零点阶数）。
- n 阶极点：\(f(z) = (z - z_0)^{-n} h(z)\)，其中 \(h(z_0) \neq 0\)。
类似计算得：
\[ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{-n}{z - z_0} + \frac{h'(z)}{h(z)}， \]
留数为 \(-n\)（极点阶数的相反数）。
3. 对数留数定理的表述
设 \(C\) 是简单闭曲线，\(f(z)\) 在 \(C\) 上解析且无零点，在 \(C\) 内除有限个极点外解析，则：
\[\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = N - P， \]
其中：
- \(N\) 是 \(f(z)\) 在 \(C\) 内的零点总数（按阶数计算），
- \(P\) 是 \(f(z)\) 在 \(C\) 内的极点总数（按阶数计算）。
4. 定理的证明思路
- 由留数定理，积分等于 \(C\) 内所有奇点处留数之和。
- 奇点仅来自 \(f(z)\) 的零点与极点。
- 由第 2 步结论，每个 \(m\) 阶零点贡献留数 \(m\)，每个 \(n\) 阶极点贡献留数 \(-n\)。
- 求和即得 \(N - P\)。
5. 与辐角原理的关系
对解析函数 \(f(z)\)（无极点），定理变为：
\[\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = N = \frac{1}{2\pi} \Delta_C \arg f(z)， \]
其中 \(\Delta_C \arg f(z)\) 是 \(z\) 沿 \(C\) 绕行一周时 \(f(z)\) 的辐角变化量。这正是辐角原理的内容。因此，对数留数定理是辐角原理在亚纯函数情形的推广。
6. 应用举例
例：计算积分 \(\oint_{|z|=2} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz\)，其中 \(f(z) = \frac{(z-1)^3}{(z+1)(z-2)^2}\)。
- 在 \(|z|<2\) 内：零点为 \(z=1\)（3 阶），故 \(N=3\)；极点为 \(z=-1\)（1 阶）和 \(z=2\)（在边界上，不计入），故 \(P=1\)。
- 由定理：
\[ \oint_{|z|=2} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = 2\pi i (N - P) = 2\pi i (3 - 1) = 4\pi i。 \]
7. 几何意义
对数导数积分实际度量了 \(f(z)\) 沿闭曲线绕原点的圈数（即映射的卷绕数），零点增加绕数，极点减少绕数。这一性质在控制理论（奈奎斯特稳定性判据）和解析函数论中有深刻应用。
通过以上步骤，我们完成了从基本概念到定理证明再到实际应用的全过程。对数留数定理不仅统一了零点与极点的计数，也为研究函数的全局性质提供了有力工具。