随机波动率模型下的期权定价

字数 2390 2025-11-06 22:52:54

随机波动率模型下的期权定价

我将为您讲解随机波动率模型下的期权定价。这个主题建立在您已了解的随机波动率模型基础上，但重点转向如何在这种更复杂的框架下进行期权定价。

第一步：随机波动率模型的基本设定回顾与扩展

随机波动率模型的核心思想是：资产价格的波动率本身不是常数，而是一个随机过程。最经典的模型是Heston模型，其数学表述为：

资产价格过程：

\[ dS_t = \mu S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW_t^S \]

波动率方差过程：

\[ dv_t = \kappa (\theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW_t^v \]

其中，两个布朗运动 $dW_t^S$ 和 $dW_t^v$ 之间存在相关性，即 $dW_t^S dW_t^v = \rho dt$。

第二步：随机波动率模型下定价的挑战——市场不完备性

在布莱克-斯科尔斯模型中，波动率是常数，市场是“完备的”，这意味着任何期权的风险都可以通过标的资产完全对冲。然而，在随机波动率模型中，波动率本身是随机的，这就引入了第二个风险源（波动率风险）。由于市场上通常没有可直接交易的波动率资产，我们无法完美对冲波动率风险，导致市场变得“不完备”。

第三步：风险中性定价原理的扩展

尽管市场不完备，我们仍然可以在风险中性测度下进行定价。关键在于，我们需要选择一个特定的风险中性测度。在随机波动率框架下，存在无穷多个风险中性测度，因为波动率风险的市场价格（称为“波动率风险溢价”）无法被唯一确定。

通常，我们会假设波动率风险的市场价格与波动率水平成正比，即 $\lambda \sqrt{v_t}$，其中 $\lambda$ 是一个需要校准的参数。这样，在风险中性测度 $Q$ 下，模型变为：

\[ dS_t = r S_t dt + \sqrt{v_t} S_t d\widetilde{W}_t^S \]

\[ dv_t = [\kappa (\theta - v_t) - \lambda v_t] dt + \sigma \sqrt{v_t} d\widetilde{W}_t^v \]

\[ = \kappa^* (\theta^* - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} d\widetilde{W}_t^v \]

其中，$\kappa^* = \kappa + \lambda$，$\theta^* = \kappa \theta / (\kappa + \lambda)$，$d\widetilde{W}_t^S$ 和 $d\widetilde{W}_t^v$ 是 $Q$ 测度下的布朗运动。

第四步：定价偏微分方程（PDE）的推导

根据无套利原理和伊藤引理，可以推导出期权价格 $V(S, v, t)$ 所满足的偏微分方程：

\[ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} v S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho \sigma v S \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2} \sigma^2 v \frac{\partial^2 V}{\partial v^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + [\kappa (\theta - v) - \lambda v] \frac{\partial V}{\partial v} - rV = 0 \]

这个PDE比布莱克-斯科尔斯PDE多出了关于波动率 $v$ 的项，包括一阶导数项 $\frac{\partial V}{\partial v}$ 和混合偏导数项 $\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v}$。

第五步：常用的定价方法

傅里叶变换法（特征函数法）：对于欧式期权，由于其收益只依赖于到期日的资产价格，我们可以利用特征函数来高效计算价格。Heston模型的特征函数有半解析解，这使得我们能够通过数值积分（如快速傅里叶变换FFT）快速计算出期权价格。这是随机波动率模型定价中最常用、最高效的方法之一。
蒙特卡洛模拟：直接模拟风险中性测度下的资产价格路径 $S_t$ 和波动率路径 $v_t$。对于每条路径，计算期权的到期收益，然后对所有路径的收益取平均并以无风险利率贴现。这种方法非常灵活，可以处理任何路径依赖型的奇异期权，但计算速度较慢。
有限差分法：直接数值求解上述的二维偏微分方程。这种方法可以一次性计算出一个期权在多个价格和波动率水平下的价值，但对于具有多个随机因素的高维问题，计算成本会很高。

第六步：模型校准

随机波动率模型的参数（如 $\kappa, \theta, \sigma, \rho, v_0$ 以及波动率风险溢价 $\lambda$）不是直接观测得到的，需要通过“校准”来确定。校准的过程是：在市场上选取一组不同行权价和到期日的期权（期权链），调整模型参数，使得模型计算出的这些期权的价格（或隐含波动率）与市场价格（或市场隐含波动率）的差异最小。一个校准良好的随机波动率模型应该能够重现市场上观察到的“波动率微笑”或“波动率偏斜”现象。

总结

随机波动率模型下的期权定价，核心在于处理由随机波动率引入的市场不完备性。通过引入波动率风险溢价来选定一个风险中性测度，然后利用傅里叶变换、蒙特卡洛模拟或求解PDE等数值方法进行定价。模型的参数需要通过市场数据进行校准，以确保其能捕捉到真实的波动率动态。

随机波动率模型下的期权定价我将为您讲解随机波动率模型下的期权定价。这个主题建立在您已了解的随机波动率模型基础上，但重点转向如何在这种更复杂的框架下进行期权定价。第一步：随机波动率模型的基本设定回顾与扩展随机波动率模型的核心思想是：资产价格的波动率本身不是常数，而是一个随机过程。最经典的模型是Heston模型，其数学表述为：资产价格过程： $$ dS_ t = \mu S_ t dt + \sqrt{v_ t} S_ t dW_ t^S $$ 波动率方差过程： $$ dv_ t = \kappa (\theta - v_ t) dt + \sigma \sqrt{v_ t} dW_ t^v $$ 其中，两个布朗运动 $dW_ t^S$ 和 $dW_ t^v$ 之间存在相关性，即 $dW_ t^S dW_ t^v = \rho dt$。第二步：随机波动率模型下定价的挑战——市场不完备性在布莱克-斯科尔斯模型中，波动率是常数，市场是“完备的”，这意味着任何期权的风险都可以通过标的资产完全对冲。然而，在随机波动率模型中，波动率本身是随机的，这就引入了第二个风险源（波动率风险）。由于市场上通常没有可直接交易的波动率资产，我们无法完美对冲波动率风险，导致市场变得“不完备”。第三步：风险中性定价原理的扩展尽管市场不完备，我们仍然可以在风险中性测度下进行定价。关键在于，我们需要选择一个特定的风险中性测度。在随机波动率框架下，存在无穷多个风险中性测度，因为波动率风险的市场价格（称为“波动率风险溢价”）无法被唯一确定。通常，我们会假设波动率风险的市场价格与波动率水平成正比，即 $\lambda \sqrt{v_ t}$，其中 $\lambda$ 是一个需要校准的参数。这样，在风险中性测度 $Q$ 下，模型变为： $$ dS_ t = r S_ t dt + \sqrt{v_ t} S_ t d\widetilde{W}_ t^S $$ $$ dv_ t = [ \kappa (\theta - v_ t) - \lambda v_ t] dt + \sigma \sqrt{v_ t} d\widetilde{W}_ t^v $$ $$ = \kappa^* (\theta^* - v_ t) dt + \sigma \sqrt{v_ t} d\widetilde{W}_ t^v $$ 其中，$\kappa^* = \kappa + \lambda$，$\theta^* = \kappa \theta / (\kappa + \lambda)$，$d\widetilde{W}_ t^S$ 和 $d\widetilde{W}_ t^v$ 是 $Q$ 测度下的布朗运动。第四步：定价偏微分方程（PDE）的推导根据无套利原理和伊藤引理，可以推导出期权价格 $V(S, v, t)$ 所满足的偏微分方程： $$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} v S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho \sigma v S \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2} \sigma^2 v \frac{\partial^2 V}{\partial v^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + [ \kappa (\theta - v) - \lambda v ] \frac{\partial V}{\partial v} - rV = 0 $$ 这个PDE比布莱克-斯科尔斯PDE多出了关于波动率 $v$ 的项，包括一阶导数项 $\frac{\partial V}{\partial v}$ 和混合偏导数项 $\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v}$。第五步：常用的定价方法傅里叶变换法（特征函数法）：对于欧式期权，由于其收益只依赖于到期日的资产价格，我们可以利用特征函数来高效计算价格。Heston模型的特征函数有半解析解，这使得我们能够通过数值积分（如快速傅里叶变换FFT）快速计算出期权价格。这是随机波动率模型定价中最常用、最高效的方法之一。蒙特卡洛模拟：直接模拟风险中性测度下的资产价格路径 $S_ t$ 和波动率路径 $v_ t$。对于每条路径，计算期权的到期收益，然后对所有路径的收益取平均并以无风险利率贴现。这种方法非常灵活，可以处理任何路径依赖型的奇异期权，但计算速度较慢。有限差分法：直接数值求解上述的二维偏微分方程。这种方法可以一次性计算出一个期权在多个价格和波动率水平下的价值，但对于具有多个随机因素的高维问题，计算成本会很高。第六步：模型校准随机波动率模型的参数（如 $\kappa, \theta, \sigma, \rho, v_ 0$ 以及波动率风险溢价 $\lambda$）不是直接观测得到的，需要通过“校准”来确定。校准的过程是：在市场上选取一组不同行权价和到期日的期权（期权链），调整模型参数，使得模型计算出的这些期权的价格（或隐含波动率）与市场价格（或市场隐含波动率）的差异最小。一个校准良好的随机波动率模型应该能够重现市场上观察到的“波动率微笑”或“波动率偏斜”现象。总结随机波动率模型下的期权定价，核心在于处理由随机波动率引入的市场不完备性。通过引入波动率风险溢价来选定一个风险中性测度，然后利用傅里叶变换、蒙特卡洛模拟或求解PDE等数值方法进行定价。模型的参数需要通过市场数据进行校准，以确保其能捕捉到真实的波动率动态。