球面几何 球面几何是研究球面上图形性质的几何学分支。我们先从球面的基本定义开始。 球面是三维空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合。这个定点称为球心，定长称为半径。球面上的几何与平面几何有显著差异，因为球面是弯曲的。 球面上的"直线"对应的是大圆。大圆是球面与通过球心的平面相交得到的圆，它是球面上半径最大的圆。例如，地球的赤道和所有经线都是大圆（但纬线除了赤道外都不是大圆）。球面上两点间的最短路径是连接这两点的大圆弧，这类似于平面上的直线段。 现在考虑球面上的角度。在球面上，两条大圆弧相交形成的角，是它们在交点处的切线之间的夹角。这个定义与平面几何中角度的定义是一致的。 接下来是球面三角形，它由三条大圆弧围成。球面三角形的内角和总是大于180°（π弧度），这个超出180°的量称为球面角盈。角盈的大小与三角形的面积成正比：Δ = (A/R²)，其中Δ是角盈（以弧度为单位），A是球面三角形的面积，R是球半径。这表明在球面上，三角形的面积越大，其内角和与180°的差异就越大。 球面三角形还有重要的边角关系。球面三角学中的正弦定理为：sin(a)/sin(A) = sin(b)/sin(B) = sin(c)/sin(C)，其中a、b、c是三角形的边长（以弧度为单位），A、B、C是对角。余弦定理有两种形式：边的余弦定理为cos(a) = cos(b)cos(c) + sin(b)sin(c)cos(A)；角的余弦定理为cos(A) = -cos(B)cos(C) + sin(B)sin(C)cos(a)。 球面几何在现实世界中有重要应用，最典型的是地球表面的测量和导航。由于地球近似于球体，大圆航线是两点间的最短路径，这在航空和航海中有实际意义。天文学中天体在天球上的位置关系也用到球面几何。