这个公式告诉我们，积的上同调由两部分组成：主要部分是由张量积给出的自由部分，另一部分则由Tor函子衡量的挠部分。

代数簇的Künneth公式 代数簇的Künneth公式是代数几何中一个强有力的工具，它描述了两个代数簇的积的上同调与其各自上同调的张量积之间的关系。为了理解它，我们需要循序渐进地建立相关知识。 上同调的基本思想 首先，上同调是一种将拓扑空间（如代数簇）与一系列代数对象（如向量空间或模）相关联的方法。这些代数对象，称为上同调群，编码了该空间的深层拓扑和几何性质。例如，零维上同调群的维数可以告诉我们空间有多少个连通分支。 两个空间的积 考虑两个代数簇 \( X \) 和 \( Y \)。它们的积 \( X \times Y \) 是一个新的代数簇，其点是有序对 \( (x, y) \)，其中 \( x \) 来自 \( X \)，\( y \) 来自 \( Y \)。理解积空间 \( X \times Y \) 的性质的一个自然思路是，能否通过 \( X \) 和 \( Y \) 各自的性质来推导出积的性质？ 上同调的乘积：杯积 在拓扑学中，存在一种称为“杯积”的运算，它允许我们将不同维数的上同调类结合起来。具体来说，对于上同调类 \( \alpha \in H^i(X) \) 和 \( \beta \in H^j(Y) \)，杯积给出了一个属于 \( H^{i+j}(X \times Y) \) 的上同调类 \( \alpha \times \beta \)。这为我们从 \( X \) 和 \( Y \) 的上同调构建 \( X \times Y \) 的上同调提供了一种方法。 Künneth公式的直观表述 Künneth公式精确地描述了这种构建过程的完整性。在最理想的情况下（例如在系数取自于一个域时），公式指出，积空间 \( X \times Y \) 的上同调群完全由 \( X \) 和 \( Y \) 的上同调群通过张量积构造出来。更具体地说，\( X \times Y \) 的第 \( n \) 维上同调群 \( H^n(X \times Y) \) 可以分解为如下直和： \[ H^n(X \times Y) \cong \bigoplus_ {i+j=n} H^i(X) \otimes H^j(Y) \] 这意味着，\( X \times Y \) 的每一个上同调类都可以唯一地表示为形如 \( \alpha \times \beta \) 的元素的（有限）和。 一般情况与Tor函子 当上同调系数不是在一个域中（例如在整数环上），情况会变得更复杂。此时，仅仅用张量积是不够的，还会出现一种称为“ torsion ”的细微结构。Künneth公式的一般形式需要引入“Tor函子”来精确描述这种关系。公式变为一个短正合列： \[ 0 \to \bigoplus_ {i+j=n} H^i(X) \otimes H^j(Y) \to H^n(X \times Y) \to \bigoplus_ {i+j=n+1} \text{Tor}(H^i(X), H^j(Y)) \to 0 \] 这个公式告诉我们，积的上同调由两部分组成：主要部分是由张量积给出的自由部分，另一部分则由Tor函子衡量的挠部分。 在代数几何中的意义与应用 在代数几何中，Künneth公式对于各种上同调理论（如奇异上同调、ℓ-进上同调等）都成立，是现代研究中的一个基本工具。它的主要应用包括： 计算积的上同调 ：它使得计算复杂空间的上同调变得可行，只要我们能将其分解为更简单空间的积。 研究代数循环 ：它与Chow环有深刻的联系，帮助研究代数簇上的子簇的相交理论。 证明定理 ：它是证明许多深层结论的基石，例如在关于代数簇的Hodge结构的研究中。