索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式

字数 2256 2025-11-06 22:52:54

索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式

我将为您讲解“索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式”。这个概念将量子力学中的散射理论工具与一个经典的特殊函数联系起来。让我们从最基础的概念开始，逐步深入。

第一步：理解威格纳-史密斯时间延迟算符的基本思想

在量子散射理论中，当一束粒子（如电子）撞击一个势垒或散射中心时，部分粒子会发生散射。尤金·威格纳和F.T.史密斯提出了一个关键概念：时间延迟。它描述的是，与没有散射势时的自由运动相比，粒子由于与势场相互作用而被“延迟”的时间。这个时间延迟不是一个简单的数字，而是一个算符——时间延迟算符 \(Q(E)\)，其定义为：

\[Q(E) = -i\hbar S^\dagger(E) \frac{dS(E)}{dE} \]

其中：

\(E\) 是粒子的能量。
\(S(E)\) 是散射矩阵（S矩阵），它完全描述了散射过程，其矩阵元给出了粒子从某一初态散射到某一末态的概率振幅。
\(\hbar\) 是约化普朗克常数。

这个算符的本征值具有时间的量纲，直接给出了在特定散射通道中的时间延迟（或时间提前，如果为负值）。

第二步：将S矩阵与具体的物理系统联系起来——库仑散射

现在，我们将这个一般框架应用到一个具体的物理问题上：库仑散射。这是一个粒子（如带正电的α粒子）在另一个带正电的原子核所产生的库仑势场 \(V(r) = Z_1 Z_2 e^2 / r\) 中运动的问题。这是一个中心势场问题，其角向部分的解是球谐函数，而径向部分的解则满足一个特定的微分方程。

这个径向方程经过适当的变量变换（例如，在抛物线坐标下），可以转化为索末菲-库默尔方程。因此，描述库仑散射问题的波函数，其径向部分可以用索末菲-库默尔函数 \(F_{l}(\eta, \rho)\) 等来表示。其中 \(l\) 是角动量量子数，\(\eta\) 是一个与库仑势强度有关的参数。

第三步：建立联系——索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式

“索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式”正是指明了，在求解库仑散射问题时，其S矩阵可以通过索末菲-库默尔函数明确地表达出来。

对于库仑势场，由于势是长程的（在无穷远处衰减缓慢，仅为 \(1/r\)），散射理论的处理比短程势更复杂。然而，S矩阵仍然可以被精确求出。对于给定的角动量量子数 \(l\)，库仑散射的S矩阵元是一个相位因子：

\[S_l(E) = e^{2i\delta_l(E)} \]

这里的 \(\delta_l(E)\) 就是库仑相移。这个相移可以通过求解索末菲-库默尔方程得到，其精确表达式为：

\[\delta_l(E) = \arg[\Gamma(l+1+i\eta)] \]

其中 \(\Gamma\) 是伽马函数。

现在，我们将这个具体的 \(S_l(E)\) 代入第一步中的威格纳-史密斯时间延迟算符公式。由于在角动量 \(l\) 的特定通道下，S矩阵退化为一个复数 \(S_l(E)\)，算符 \(Q(E)\) 也退化为一个普通函数 \(Q_l(E)\)，代表在该角动量通道下的时间延迟：

\[Q_l(E) = -i\hbar S_l^\dagger(E) \frac{dS_l(E)}{dE} = -i\hbar [e^{-2i\delta_l(E)}] \frac{d}{dE}[e^{2i\delta_l(E)}] = 2\hbar \frac{d\delta_l(E)}{dE} \]

这个重要的关系 \(Q = 2\hbar (d\delta/dE)\) 被称为威格纳时间延迟公式。

第四步：核心内容——表达式的具体形式

因此，“索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式”的核心，就是将时间延迟 \(Q_l(E)\) 用索末菲-库默尔函数所依赖的参数明确表示出来。我们将 \(\delta_l(E) = \arg[\Gamma(l+1+i\eta)]\) 代入上式，经过计算（涉及伽马函数的导数，即双伽马函数 \(\psi\)），可以得到：

\[Q_l(E) = 2\hbar \frac{d}{dE} \arg[\Gamma(l+1+i\eta)] = \hbar \left( \frac{\partial \eta}{\partial E} \right) \left[ \text{Im} \, \psi(l+1+i\eta) \right] \]

这里，\(\eta\) 是库仑参数，\(\eta = (Z_1 Z_2 e^2)/(\hbar v)\)，与能量 \(E\) 和速度 \(v\) 有关。\(\psi(z)\) 是双伽马函数。这个表达式就是威格纳-史密斯时间延迟在库仑势场中的具体实现，它完全由索末菲-库默尔理论中的参数（\(l, \eta\)）和特殊函数（伽马函数、双伽马函数）所决定。

总结

索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式，本质上是将量子散射理论中描述时间延迟的威格纳-史密斯形式体系，具体应用到了库仑势这一可精确求解的物理模型上，并得到了用索末菲-库默尔函数的参数和相关特殊函数表示的时间延迟的精确解析表达式。它架起了一座连接特殊函数论与量子动力学概念的桥梁。

索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式我将为您讲解“索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式”。这个概念将量子力学中的散射理论工具与一个经典的特殊函数联系起来。让我们从最基础的概念开始，逐步深入。第一步：理解威格纳-史密斯时间延迟算符的基本思想在量子散射理论中，当一束粒子（如电子）撞击一个势垒或散射中心时，部分粒子会发生散射。尤金·威格纳和F.T.史密斯提出了一个关键概念：时间延迟。它描述的是，与没有散射势时的自由运动相比，粒子由于与势场相互作用而被“延迟”的时间。这个时间延迟不是一个简单的数字，而是一个算符—— 时间延迟算符 \( Q(E) \)，其定义为： \[ Q(E) = -i\hbar S^\dagger(E) \frac{dS(E)}{dE} \] 其中： \( E \) 是粒子的能量。 \( S(E) \) 是散射矩阵（S矩阵），它完全描述了散射过程，其矩阵元给出了粒子从某一初态散射到某一末态的概率振幅。 \( \hbar \) 是约化普朗克常数。这个算符的本征值具有时间的量纲，直接给出了在特定散射通道中的时间延迟（或时间提前，如果为负值）。第二步：将S矩阵与具体的物理系统联系起来——库仑散射现在，我们将这个一般框架应用到一个具体的物理问题上：库仑散射。这是一个粒子（如带正电的α粒子）在另一个带正电的原子核所产生的库仑势场 \( V(r) = Z_ 1 Z_ 2 e^2 / r \) 中运动的问题。这是一个中心势场问题，其角向部分的解是球谐函数，而径向部分的解则满足一个特定的微分方程。这个径向方程经过适当的变量变换（例如，在抛物线坐标下），可以转化为索末菲-库默尔方程。因此，描述库仑散射问题的波函数，其径向部分可以用索末菲-库默尔函数 \( F_ {l}(\eta, \rho) \) 等来表示。其中 \( l \) 是角动量量子数，\( \eta \) 是一个与库仑势强度有关的参数。第三步：建立联系——索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式 “索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式”正是指明了，在求解库仑散射问题时，其 S矩阵可以通过索末菲-库默尔函数明确地表达出来。对于库仑势场，由于势是长程的（在无穷远处衰减缓慢，仅为 \( 1/r \)），散射理论的处理比短程势更复杂。然而，S矩阵仍然可以被精确求出。对于给定的角动量量子数 \( l \)，库仑散射的S矩阵元是一个相位因子： \[ S_ l(E) = e^{2i\delta_ l(E)} \] 这里的 \( \delta_ l(E) \) 就是库仑相移。这个相移可以通过求解索末菲-库默尔方程得到，其精确表达式为： \[ \delta_ l(E) = \arg[ \Gamma(l+1+i\eta) ] \] 其中 \( \Gamma \) 是伽马函数。现在，我们将这个具体的 \( S_ l(E) \) 代入第一步中的威格纳-史密斯时间延迟算符公式。由于在角动量 \( l \) 的特定通道下，S矩阵退化为一个复数 \( S_ l(E) \)，算符 \( Q(E) \) 也退化为一个普通函数 \( Q_ l(E) \)，代表在该角动量通道下的时间延迟： \[ Q_ l(E) = -i\hbar S_ l^\dagger(E) \frac{dS_ l(E)}{dE} = -i\hbar [ e^{-2i\delta_ l(E)}] \frac{d}{dE}[ e^{2i\delta_ l(E)}] = 2\hbar \frac{d\delta_ l(E)}{dE} \] 这个重要的关系 \( Q = 2\hbar (d\delta/dE) \) 被称为威格纳时间延迟公式。第四步：核心内容——表达式的具体形式因此，“索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式”的核心，就是将时间延迟 \( Q_ l(E) \) 用索末菲-库默尔函数所依赖的参数明确表示出来。我们将 \( \delta_ l(E) = \arg[ \Gamma(l+1+i\eta) ] \) 代入上式，经过计算（涉及伽马函数的导数，即双伽马函数 \( \psi \)），可以得到： \[ Q_ l(E) = 2\hbar \frac{d}{dE} \arg[ \Gamma(l+1+i\eta)] = \hbar \left( \frac{\partial \eta}{\partial E} \right) \left[ \text{Im} \, \psi(l+1+i\eta) \right ] \] 这里，\( \eta \) 是库仑参数，\( \eta = (Z_ 1 Z_ 2 e^2)/(\hbar v) \)，与能量 \( E \) 和速度 \( v \) 有关。\( \psi(z) \) 是双伽马函数。这个表达式就是威格纳-史密斯时间延迟在库仑势场中的具体实现，它完全由索末菲-库默尔理论中的参数（\( l, \eta \)）和特殊函数（伽马函数、双伽马函数）所决定。总结索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯形式，本质上是将量子散射理论中描述时间延迟的威格纳-史密斯形式体系，具体应用到了库仑势这一可精确求解的物理模型上，并得到了用索末菲-库默尔函数的参数和相关特殊函数表示的时间延迟的精确解析表达式。它架起了一座连接特殊函数论与量子动力学概念的桥梁。