复变函数的柯西不等式与刘维尔定理 我们先从柯西不等式开始。设函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内解析，\( z_ 0 \in D \)，并且 \( f \) 在闭圆盘 \( \overline{U}(z_ 0, R) = \{ z \in \mathbb{C} : |z - z_ 0| \leq R \} \subset D \) 上解析。那么，对于任意非负整数 \( n \)，有： \[ |f^{(n)}(z_ 0)| \leq \frac{n ! M(R)}{R^n} \] 其中 \( M(R) = \max_ {|z - z_ 0| = R} |f(z)| \)。 这个不等式表明，解析函数在某点的 \( n \) 阶导数的模，被函数在围绕该点的圆周上的最大模所控制。它是柯西积分公式的直接推论。回忆柯西积分公式： \[ f^{(n)}(z_ 0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_ {|\zeta - z_ 0|=R} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_ 0)^{n+1}} d\zeta \] 对上述积分进行模估计，利用积分不等式 \( |\oint_ \gamma g(z) dz| \leq \text{长度}(\gamma) \cdot \max_ {z \in \gamma} |g(z)| \)，并注意到积分路径是半径为 \( R \) 的圆周，其周长为 \( 2\pi R \)，我们得到： \[ |f^{(n)}(z_ 0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \cdot 2\pi R \cdot \frac{M(R)}{R^{n+1}} = \frac{n ! M(R)}{R^n} \] 这就证明了柯西不等式。 现在，我们来看刘维尔定理。刘维尔定理指出： 在整个复平面 \( \mathbb{C} \) 上解析且有界的函数（即整函数），必为常数。 我们来证明这个定理。设 \( f(z) \) 是整函数，且存在常数 \( M > 0 \)，使得对所有 \( z \in \mathbb{C} \)，有 \( |f(z)| \leq M \)。由于 \( f \) 在整个复平面上解析，我们可以对任意点 \( z_ 0 \in \mathbb{C} \) 和任意半径 \( R > 0 \) 应用柯西不等式（取 \( n=1 \)）： \[ |f'(z_ 0)| \leq \frac{1 ! M(R)}{R^1} \] 因为 \( f \) 在整个复平面有界，即 \( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \in \mathbb{C} \) 成立，所以对于以 \( z_ 0 \) 为圆心、半径为 \( R \) 的圆周，其上的最大模 \( M(R) \leq M \)。因此： \[ |f'(z_ 0)| \leq \frac{M}{R} \] 注意，这个不等式对任意大的半径 \( R \) 都成立。由于 \( M \) 是一个固定的常数，而 \( R \) 可以取任意大的值，我们让 \( R \to +\infty \)，则不等式右边 \( M/R \to 0 \)。这意味着对任意点 \( z_ 0 \in \mathbb{C} \)，都有 \( |f'(z_ 0)| = 0 \)，即 \( f'(z_ 0) = 0 \)。由于 \( z_ 0 \) 是任意的，所以 \( f'(z) \equiv 0 \) 在整个复平面上成立。因此，函数 \( f(z) \) 必为常数。 刘维尔定理是复分析中一个非常深刻的结果，它表明复平面上的有界整函数的行为非常受限，只能是常数函数。这个定理在证明代数学基本定理等领域有重要应用。