位势理论 位势理论是数学物理方程中的一个核心领域，主要研究满足拉普拉斯方程的函数（即调和函数）的性质，以及这些函数如何用于表示物理场，如引力场、静电场和稳态温度场。 第一步：从物理背景引入基本概念 想象一个不含电荷或质量源的静电场区域。在该区域内，静电势 \( u(\mathbf{x}) \) 满足拉普拉斯方程 \( \nabla^2 u = 0 \)。这样的函数称为调和函数。位势理论的核心就是研究这类函数的数学性质，例如它们的平均值性质、极值原理以及如何通过边界上的值来确定区域内部的值。 第二步：调和函数的基本性质 调和函数有几个关键性质： 平均值定理 ：调和函数在任意一点的值，等于以该点为球心的任何球面上的平均值。数学表述为：若 \( u \) 在区域 \( \Omega \) 内调和，且球 \( B(\mathbf{x}_ 0, r) \subset \Omega \)，则 \( u(\mathbf{x} 0) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint {S(\mathbf{x}_ 0, r)} u(\mathbf{x}) \, dS \)。 极值原理 ：在一个连通区域内，非常数的调和函数不可能在其内部取得最大值或最小值。这意味着调和函数的最大值和最小值必然出现在区域的边界上。这个性质保证了边值问题解的唯一性。 第三步：基本解与格林函数 为了求解区域内的位势，我们需要强大的工具。一个核心概念是拉普拉斯算子的 基本解 。在三维空间中，基本解是 \( \Phi(\mathbf{x}) = -\frac{1}{4\pi |\mathbf{x}|} \)。它在除原点外的所有点满足拉普拉斯方程，而在原点处表现为一个点源。通过将连续分布的源表示为点源的叠加（积分），我们可以构造出更一般的解，例如由电荷分布产生的电势。 更进一步，对于有界区域，我们引入 格林函数 \( G(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \)。它表示在点 \( \mathbf{y} \) 处放置一个点源，并在边界条件下（如狄利克雷条件，即边界电势为零）在点 \( \mathbf{x} \) 处产生的场。利用格林第二恒等式，区域 \( \Omega \) 内拉普拉斯方程边值问题的解可以表示为边界上的积分：\( u(\mathbf{x}) = -\iint_ {\partial \Omega} u(\mathbf{y}) \frac{\partial G(\mathbf{x}, \mathbf{y})}{\partial \mathbf{n}_ y} \, dS_ y \)。这显示了区域内任一点的解完全由边界值决定。 第四步：泊松积分公式 对于一个特殊但非常重要的区域——球，我们可以显式地写出其格林函数。由此推导出的公式称为 泊松积分公式 。它给出了球内调和函数 \( u(r, \theta, \phi) \) 通过球边界上的值 \( f(\theta, \phi) \) 的直接表达式： \( u(r, \theta, \phi) = \frac{1}{4\pi a} \iint_ {S} f(\theta', \phi') \frac{a^2 - r^2}{(a^2 + r^2 - 2ar\cos\gamma)^{3/2}} \, dS' \)， 其中 \( a \) 是球的半径，\( \gamma \) 是球面上点 \( (r, \theta, \phi) \) 与 \( (a, \theta', \phi') \) 之间的夹角。这个公式是位势理论中一个非常具体和优美的成果。