泊松公式 泊松公式是数学物理方程中一个重要的解析工具，专门用于求解某些偏微分方程的定解问题。它最经典的应用是给出了拉普拉斯方程或波动方程在特定区域（如球、圆、半空间）上边值问题的显式解。 第一步：从源头理解——圆的狄利克雷问题 考虑一个最简单的情形：在二维平面上，有一个半径为 a 的圆盘。我们希望求解圆盘内部的拉普拉斯方程 Δu = 0，并且要求解 u 在圆的边界（圆周）上取某个给定的函数值 f(θ)。这个问题被称为圆的狄利克雷问题。 第二步：分离变量法的启示与局限 通过分离变量法，我们可以将这个问题在极坐标 (r, θ) 下求解。最终解可以表示为一个傅里叶级数： u(r, θ) = A₀/2 + Σ_ {n=1}^∞ (r/a)^n [ A_ n cos(nθ) + B_ n sin(nθ) ] 其中系数 A_ n 和 B_ n 由边界条件 f(θ) 的傅里叶系数决定。 这个级数解在理论上是完美的，但计算上可能比较复杂，特别是当需要计算大量系数时。 第三步：泊松公式的推导——将级数“求和” 泊松的伟大之处在于，他通过巧妙的数学技巧，将上述无穷级数解求和，得到了一个紧凑的积分公式。这个推导过程的核心是运用傅里叶级数的帕塞瓦尔恒等式和余弦定理。 最终结果是著名的 圆的泊松公式 ： u(r, θ) = (1/2π) ∫_ {0}^{2π} [ (a² - r²) / (a² + r² - 2ar cos(θ - φ)) ] f(φ) dφ 这个公式告诉我们，圆内任意一点 (r, θ) 的函数值 u，等于边界函数 f(φ) 乘以一个特定核函数（即方括号内的部分，称为泊松核）后，沿整个圆周的积分平均值。 第四步：深入分析泊松核 泊松核 P(r, θ; a, φ) = (a² - r²) / (a² + r² - 2ar cos(θ - φ)) 具有几个关键性质： 调和性 ：对于固定的边界点 φ，它作为 (r, θ) 的函数在圆内满足拉普拉斯方程。 正性 ：在圆内 (r < a)，泊松核恒大于零。 归一性 ：对于任意固定的 r < a，有 (1/2π) ∫_ {0}^{2π} P(r, θ; a, φ) dφ = 1。 δ函数行为 ：当点 (r, θ) 从圆内趋近边界上的点 (a, φ₀) 时，泊松核在 φ₀ 附近急剧增大，而在其他地方趋于零，其行为类似于一个δ函数，这保证了边界条件 u(a, θ) = f(θ) 能够被满足。 第五步：推广到三维球体 泊松公式可以自然地推广到三维空间。对于半径为 a 的球体，内部拉普拉斯方程的狄利克雷问题，其解由 球的泊松公式 给出： u(r, Ω) = (1/4πa) ∫_ {|ξ|=a} [ (a² - r²) / (a² + r² - 2a r cosψ)^{3/2} ] f(ξ) dS(ξ) 其中，r 是球内点到球心的距离，Ω 是方向角，ξ 是球面上的点，ψ 是球内点与球面上积分点 ξ 之间的夹角，dS(ξ) 是球面上的面积微元。这个公式在结构上与二维情况非常相似。 第六步：应用于波动方程——球面平均法 泊松公式在波动方程的初值问题（柯西问题）中也扮演着核心角色。对于三维波动方程 u_ tt = c² Δu，其初值问题可以通过 泊松公式 （或称基尔霍夫公式的简化形式）求解： u(x, t) = (1/4πc²t) ∫ {|y-x|=ct} g(y) dS(y) + ∂/∂t [ (1/4πc²t) ∫ {|y-x|=ct} f(y) dS(y) ] 这个公式有清晰的物理意义：点 x 在时刻 t 的波动，只依赖于以 x 为球心、ct 为半径的球面 Σ(x, ct) 上的初始数据。这体现了三维波传播的 惠更斯原理 （或后效现象）。二维波动方程的相应解（使用泊松公式）则表现出不同的性质（后效现象），其解涉及对整个圆盘的初始数据积分。 总结来说，泊松公式将一个复杂的偏微分方程边值问题或初值问题，转化为一个直接的积分运算，不仅提供了显式解，还深刻揭示了解与边界数据或初始数据之间的依赖关系，是连接分析与几何的桥梁。