复变函数的Γ函数 首先，我会从Γ函数的基本定义开始讲解。Γ函数是阶乘概念在复平面上的推广，对于正整数n，有Γ(n) = (n-1) !。其一般定义（对于Re(s) > 0）由欧拉积分给出： Γ(s) = ∫₀^∞ t^(s-1) e^(-t) dt 这个积分在右半平面定义了一个解析函数。 接下来，讲解Γ函数的解析延拓。上述积分定义只在Re(s) > 0时收敛。通过函数方程Γ(s+1) = sΓ(s)，我们可以将Γ函数解析延拓到整个复平面（除了s = 0, -1, -2, ...等非正整数极点）。这个函数方程是理解Γ函数全局性质的关键。 然后，介绍Γ函数的无穷乘积表示。魏尔斯特拉斯给出了一个重要的无穷乘积形式： 1/Γ(s) = s e^(γs) ∏_ {n=1}^∞ (1 + s/n) e^(-s/n) 其中γ是欧拉常数。这个表示揭示了Γ函数的零点分布（没有零点）和极点位置（在非正整数处）。 现在讨论Γ函数的特殊值。最重要的关系是Γ(1/2) = √π，这可以通过变量代换转化为高斯积分得到。另一个重要性质是余元公式：Γ(s)Γ(1-s) = π / sin(πs)，这个公式建立了Γ函数与三角函数的美妙联系。 最后，讲解Γ函数与其它特殊函数的关系。Γ函数是很多特殊函数的基础，比如Beta函数B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)。在数论中，Γ函数出现在黎曼ζ函数的函数方程中，体现了其在解析数论中的核心地位。