代数簇的Hilbert概形的切空间 代数簇的Hilbert概形是参数化代数簇子概形的模空间，而 切空间 是研究其局部结构的关键工具。以下从基础概念逐步展开： 1. 背景：Hilbert概形的定义 Hilbert概形 \( \text{Hilb}_ X \) 是模空间的一种，其每个点对应射影代数簇 \( X \) 的一个闭子概形 \( Z \)，且满足特定的Hilbert多项式 \( P_ Z(m) \)。 例如，若 \( X = \mathbb{P}^n \)，\( \text{Hilb}_ {\mathbb{P}^n} \) 参数化所有射影空间中的闭子概形。 2. 切空间问题的提出 在模空间中，我们关心其局部结构：若 \( Z \subset X \) 是子概形，如何描述 \( \text{Hilb}_ X \) 在点 \( [ Z ] \) 附近的无穷小变形？ 这归结为计算 切空间 \( T_ {[ Z]} \text{Hilb}_ X \)，即从 \( Z \) 出发的一阶无穷小变形。 3. 一阶无穷小变形与切空间的对应 设 \( D = \text{Spec} \mathbb{C}[ \epsilon ]/(\epsilon^2) \) 为双点概形（一阶无穷小邻域）。 \( T_ {[ Z]} \text{Hilb}_ X \) 的元素对应态射 \( D \to \text{Hilb}_ X \)，使得 \( 0 \in D \) 映射到 \( [ Z ] \)。 几何上，这等价于给出 \( Z \) 的一个 一阶形变 ：即概形 \( \mathcal{Z} \subset X \times D \)，满足 \( \mathcal{Z} \times_ D \{0\} \cong Z \)。 4. 切空间的具体计算：正规丛的作用 关键定理：若 \( Z \) 是 \( X \) 的局部完全交集子概形，则 \[ T_ {[ Z]} \text{Hilb} X \cong H^0(Z, \mathcal{N} {Z/X}), \] 其中 \( \mathcal{N}_ {Z/X} \) 是 \( Z \) 在 \( X \) 中的 正规丛 （即层 \( \mathcal{I}_ Z/\mathcal{I}_ Z^2 \) 的对偶）。 直观解释 ：一阶形变由法方向的向量场描述，即正规丛的全局截面。 5. 一般情形的推广：用层上同调描述 对于任意子概形 \( Z \subset X \)，切空间由 全局Ext群 给出： \[ T_ {[ Z]} \text{Hilb}_ X \cong \text{Ext}^1(\mathcal{I}_ Z, \mathcal{O}_ Z), \] 其中 \( \mathcal{I}_ Z \) 是 \( Z \) 在 \( X \) 中的理想层。 这一公式源于变形理论的普遍框架：一阶形变由 \( \mathcal{I}_ Z \) 的自我扩展类分类。 6. 例子：点集的Hilbert概形 考虑 \( X = \mathbb{P}^2 \)，\( Z \) 为 \( n \) 个互异点的并。此时 \( \mathcal{N} {Z/X} \) 是秩为 \( 2n \) 的平凡丛，故 \[ T {[ Z]} \text{Hilb}_ {\mathbb{P}^2} \cong \mathbb{C}^{2n}. \] 若点发生重合，需用Ext公式计算，切空间维数可能增大，反映奇点的出现。 7. 应用与意义 光滑性判定 ：若 \( H^1(Z, \mathcal{N}_ {Z/X}) = 0 \)，则 \( \text{Hilb}_ X \) 在 \( [ Z ] \) 处光滑（由变形理论）。 模空间的局部研究 ：切空间维数给出Hilbert概形的局部维数，帮助理解其奇点性质。 通过以上步骤，Hilbert概形的切空间从几何直观到同调描述被系统呈现，为研究模空间的精细结构提供了基础。