索末菲-库默尔函数的威克旋转与路径积分表示 威克旋转是一种将闵可夫斯基时空中的时间坐标进行虚数化变换（t → -iτ）的技巧，它将波动方程或薛定谔方程等与时间演化相关的问题，转化为欧几里得时空中的椭圆型方程（如亥姆霍兹方程或扩散方程）问题。这种变换使得问题的数学处理更为简便，特别是在量子场论和统计力学中，它将实时形式体系转换为虚时形式体系，从而可以利用更成熟的针对椭圆型方程的理论工具。 对于索末菲-库默尔方程，其标准形式为 d²w/dz² + (1/4 - κ/z + (1/4 - μ²)/z²) w = 0。当通过威克旋转将其关联的物理问题（例如，某些势场下的薛定谔方程）转换到虚时间后，方程的形式可能保持不变，但参数和变量的定义域会扩展到复平面，其解（即索末菲-库默尔函数）的行为也需要在复平面上进行分析。 路径积分表示，源于量子力学中的费曼路径积分思想，它将一个粒子的传播子（即从一点到另一点的跃迁振幅）表示为所有可能路径的贡献之和。对于某些可积系统，其传播子可以精确求出，并且可以用特殊函数表示。 将威克旋转与路径积分结合，意味着在欧几里得时空下计算路径积分。对于与索末菲-库默尔方程相关的特定势场问题（如库仑势或谐振子势的变形），其欧几里得传播子可以精确计算出来。这个精确的传播子表达式，在经过适当的变量变换和参数识别后，可以被证明正比于某个索末菲-库默尔函数。具体而言，这个传播子可以表示为连接两个时空点的所有经典路径及其量子涨落贡献的求和（或积分），最终这个表达式与索末菲-库默尔函数的某个积分表示或渐近形式相吻合。 这种关联的深刻意义在于，它为索末菲-库默尔函数这一纯数学对象提供了一个清晰的物理图像和推导框架。路径积分表示揭示了该函数如何编码了系统在给定势场下的所有可能动力学路径的量子力学信息。同时，威克旋转确保了路径积分计算的收敛性，并建立了量子力学与统计物理之间的联系（例如，通过传播子可以计算配分函数）。因此，索末菲-库默尔函数的威克旋转与路径积分表示是连接数学物理方程、特殊函数论和量子理论的一个重要桥梁。