非经典逻辑中的多值逻辑

多值逻辑是命题逻辑与一阶逻辑的推广，其核心特征是允许命题取超过两个真值（真/假）。以下从基础概念逐步展开：

1. 动机与基本定义

   • 经典逻辑中，命题的真值集合为 {0, 1}（假/真）。多值逻辑将真值集扩展为更大的有限集（如 {0, 1/2, 1}）或无限集（如 [0, 1]）。
   • 例如，三值逻辑可引入中间值表示“不确定”或“悖论”，用于处理模糊性或不完全信息。

2. 真值表与连接词

   • 多值逻辑需重新定义逻辑连接词（如 ¬, ∧, ∨, →）。以三值逻辑（Łukasiewicz 逻辑）为例：
     • ¬p = 1 − p（真值取差）
     • p ∧ q = min(p, q)
     • p ∨ q = max(p, q)
     • p → q = min(1, 1 − p + q)
   • 这些定义需满足广义的函数完备性，确保所有真值函数可由连接词组合表达。

3. 语义与有效性

   • 多值逻辑中，真值子集 D ⊆ V 被指定为“ designated values”（可接受真值），类比经典的“真”。
   • 公式 φ 是有效的，当且仅当在任何赋值下其真值均属于 D。
   • 例如，在 Kleene 三值逻辑中，D = {1}；在悖论逻辑（LP）中，D = {1/2, 1}，允许悖论命题可被接受。

4. 与经典逻辑的关系

   • 多值逻辑可模拟经典逻辑：若限制赋值仅使用 {0, 1}，则连接词行为与经典一致。
   • 但多值逻辑可能违反经典律（如排中律 p ∨ ¬p 未必有效），这使其适用于处理悖论或模糊推理。

5. 无限值逻辑与模糊逻辑

   • 当 V = [0, 1] 时，多值逻辑发展为模糊逻辑，真值表示隶属度。
   • 连接词可定义为连续函数（如楚范Co-Norm），并需研究其完备性、可满足性等计算性质。

6. 应用与哲学意义

   • 多值逻辑用于电路设计（三值模拟高阻态）、人工智能（模糊控制）、语义悖论分析（如说谎者悖论）。
   • 其哲学价值在于挑战二值假设，探索真值的本质与边界。

通过以上步骤，多值逻辑从基本定义逐步扩展到实际应用，形成了非经典逻辑中重要的分支。