随机规划中的内生不确定性

内生不确定性是指决策本身会影响未来不确定性实现或分布的一类随机优化问题。这与外生不确定性（由外部因素决定）形成对比。我将从基本概念开始，逐步解释其建模、求解难点及主要方法。

1. 基本概念与定义

   • 核心思想：在标准随机规划中，不确定性（如需求、价格）的分布是固定的，不受决策影响。内生不确定性则不同，例如，投资勘探决策会影响后续资源储量的发现概率；定价决策会影响市场需求分布。
   • 关键特征：决策变量与随机参数的分布之间存在函数依赖关系，即随机参数的分布是决策的函数。这破坏了传统随机规划中“决策→观测随机实现→再决策”的序列独立性。

2. 建模挑战与数学形式

   • 信息依赖：决策所依赖的信息（即随机参数的实现值）可能只有在做出影响该不确定性的决策后才会被揭示。这导致了非预期（non-anticipative）约束的复杂性。
   • 模型表述：一个简化的两阶段模型可表述为：minₓ { cᵀx + 𝔼_ξ(x) [Q(x, ξ(x))] }。这里，随机参数 ξ 的分布依赖于第一阶段决策 x。这使得期望值函数 𝔼[·] 的计算变得极其困难，因为每次改变 x，都需要重新评估一个新的概率分布。

3. 主要问题类型与求解思路

   • 带有学习的两阶段问题：例如，在勘探问题中，投资钻井（决策）后才能获知资源储量（不确定性实现）。求解思路通常是将连续的概率分布离散化为场景树，但场景树的结构（从哪个决策节点分支）本身依赖于之前的决策，导致所谓的“内生场景树”，问题规模呈指数级增长。
   • 决策依赖的概率分布：随机参数的整个分布是决策的已知函数。例如，定价决策 p 影响需求 d 的分布，d ~ F(d; p)。求解方法包括使用随机近似算法（如随机梯度下降）来处理期望值，或者利用分布函数的具体形式进行转化。
   • 均衡约束问题：决策影响一个均衡系统（如市场均衡），而系统的均衡结果（不确定性）又反过来影响目标函数。这常被建模为数学规划与均衡约束的互补问题。

4. 常用求解方法概述

   • 分解方法：尝试将问题分解为主问题和子问题。但由于分布依赖于决策，子问题的定义和求解比传统Benders分解等算法更为复杂，需要特殊的处理技巧。
   • 近似动态规划（ADP）：对于多阶段问题，ADP通过价值函数近似来规避“维度灾难”，并可以设计特定的策略来处理状态空间如何随决策演变。
   • 仿真优化：当模型过于复杂而无法解析求解时，通过计算机模拟决策对不确定性分布的影响，并结合优化算法（如元启发式算法）来寻找满意解。

理解内生不确定性是处理现实世界中决策与不确定性相互交织的复杂系统的关键，它扩展了传统随机优化的边界，但也带来了显著的建模和计算挑战。