局部有界算子（Locally Bounded Operators） 1. 基本定义与动机 在泛函分析中，我们通常研究定义在整个空间上的有界线性算子。但某些问题（如微分算子）需要处理非全局有界的算子。为此引入 局部有界算子 的概念： 设 \( X, Y \) 为赋范空间，算子 \( T: D(T) \subset X \to Y \) 称为 局部有界的 ，若对每个 有界集 \( M \subset D(T) \)，其像 \( T(M) \) 是 \( Y \) 中的有界集。 注意：若 \( T \) 是线性算子，则“有界性”（即连续）等价于全局有界（\(\|T\| < \infty\)），但局部有界性不要求 \( D(T) = X \)，且允许算子在无界集上无界。 2. 与连续性的关系 对于线性算子 \( T \)： 若 \( T \) 连续（即有界），则它必局部有界（因有界集的像有界）。 反之，若 \( T \) 局部有界且定义域 \( D(T) \) 为开集（例如 \( D(T) = X \)），则 \( T \) 连续。 关键区别：局部有界性只关注有界子集上的行为，允许定义域受限或算子在某些方向无界。 3. 典型例子 有界算子 ：显然满足局部有界性。 无界但局部有界算子 ：考虑 \( X = C[ 0,1] \)，\( D(T) = \{ f \in C^1[ 0,1] \} \)，定义微分算子 \( Tf = f' \)。对任意有界集 \( M \subset D(T) \)（例如 \( \|f\|_ \infty \leq 1 \) 的 \( C^1 \) 函数），虽 \( T \) 全局无界，但 \( T(M) \) 有界（因导数一致有界），故 \( T \) 局部有界。 非线性算子的应用 ：局部有界性对非线性算子尤为重要，例如在偏微分方程中，非线性项可能仅在局部有界。 4. 局部有界性与闭算子 若 \( T \) 是闭算子（图像是闭集），则局部有界性可推出连续性： 定理 ：设 \( X, Y \) 为巴拿赫空间，\( T: D(T) \subset X \to Y \) 是闭线性算子。若 \( T \) 局部有界，则 \( D(T) \) 必为闭集，且 \( T \) 连续。 证明思路：通过闭图像定理，若 \( D(T) \) 完备，则局部有界性可转化为全局有界。 5. 推广：局部有界算子的基本性质 保持收敛性 ：局部有界算子将有界集上的收敛序列映射为有界序列。 可复合性 ：若 \( T \) 局部有界，\( S \) 连续，则 \( S \circ T \) 局部有界。 在弗雷歇空间中的推广 ：在更一般的局部凸空间中，局部有界性可通过均衡吸收集来定义，与连续性密切相关。 6. 应用背景 局部有界算子在以下领域有重要作用： 微分算子理论 ：如薛定谔算子在某些函数子集上的限制。 非线性分析 ：处理非全局利普希茨连续的非线性算子。 分布理论 ：广义函数的算子常需局部有界性以保证良好定义。 通过以上步骤，可见局部有界算子放宽了全局有界的要求，为处理无界算子提供了灵活框架，同时保留了在有界集上的可控性。