信用违约互换（CDS）的定价模型
字数 2072 2025-11-06 12:40:40

信用违约互换（CDS）的定价模型

信用违约互换（CDDS）的定价模型旨在确定信用保护买方应定期支付的费用（即信用利差），以覆盖参考实体违约的风险。其核心思想是通过风险中性定价原理，将预期损失贴现到当前价值。以下是逐步讲解：

1. 基本概念与现金流结构

  • CDS合约双方：
    • 保护买方：定期支付固定利差（保费）给保护卖方，以换取违约保护。
    • 保护卖方：在参考实体发生信用事件（如违约）时，向买方支付损失金额。
  • 现金流场景：
    • 无违约时：买方在每期支付日支付利差，直至合约到期。
    • 违约时：支付立即终止，卖方向买方支付违约损失（面值减去回收额）。

2. 定价模型的核心组件

定价需计算两部分现金流的现值（PV），并在风险中性测度下使其相等：

(1) 保费端现值（Premium Leg PV）

买方支付的预期保费现值：

\[PV_{\text{premium}} = S \times \sum_{i=1}^{n} DF(t_i) \cdot Q(t_i) \cdot \Delta t_i \]

  • \(S\)：年化信用利差（待求解的定价目标）。
  • \(DF(t_i)\)：期限 \(t_i\) 的无风险贴现因子。
  • \(Q(t_i)\)：参考实体在时间 \(t_i\) 前不违约的概率（生存概率）。
  • \(\Delta t_i\)：支付区间的年化时间长度。
  • 应计利息调整：若违约发生在两个支付日之间，买方需支付已产生的应计利差，需在公式中添加应计利息项。

(2) 保护端现值（Protection Leg PV）

卖方支付的预期违约损失现值：

\[PV_{\text{protection}} = (1-R) \times \sum_{j=1}^{m} DF(\tau_j) \cdot P(\tau_j \in [t_{j-1}, t_j]) \]

  • \(R\)：违约后的回收率（通常假设为固定值，如40%）。
  • \(\tau_j\)：违约时间，\(P(\tau_j)\) 是违约时间在区间 \([t_{j-1}, t_j]\) 内的概率（由生存概率推导：\(Q(t_{j-1}) - Q(t_j)\)）。
  • 实践中常使用连续时间近似：

\[ PV_{\text{protection}} \approx (1-R) \int_{0}^{T} DF(t) \cdot (-dQ(t)) \]

其中 \(-dQ(t)\) 是违约概率密度。

3. 利差求解与市场报价

在合约起始时，双方现金流现值应相等（无套利）：

\[PV_{\text{premium}} = PV_{\text{protection}} \]

解得信用利差：

\[S = \frac{PV_{\text{protection}}}{PV_{\text{premium}} / S} = \frac{(1-R) \int_{0}^{T} DF(t) \cdot (-dQ(t))}{\sum_{i=1}^{n} DF(t_i) \cdot Q(t_i) \cdot \Delta t_i} \]

  • 市场惯例：CDS利差通常按季度支付，并基于标准化的日期计算（如IMM日期）。
  • 前期费用（Upfront Payment）：若市场利差与合约利差不同，通过前期费用调整（例如，在CDS标准化后使用固定利差+前期费用模式）。

4. 生存概率与违约强度模型

生存概率 \(Q(t)\) 的推导是关键，常用方法包括：

(1) 违约强度模型（简化模型）

假设违约时间 \(\tau\) 服从强度为 \(\lambda(t)\) 的泊松过程：

\[Q(t) = \exp\left( -\int_{0}^{t} \lambda(s) ds \right) \]

  • \(\lambda(t)\) 可从市场CDS利差曲线中反向校准：通过不同期限的CDS报价， bootstrap 出分段常数违约强度。
  • 例如，若已知1年、3年、5年CDS利差，可依次解出 \(\lambda_{0-1}, \lambda_{1-3}, \lambda_{3-5}\)。

(2) 与债券利差的关系

若存在相同参考实体的债券，其信用利差（Z-spread）应与CDS利差接近（忽略基差风险），否则存在套利机会。

5. 复杂情形与模型扩展

  • 对手方信用风险：若保护卖方可能违约，需使用双边信用价值调整（CVA/DVA）修正定价。
  • 随机回收率：将回收率 \(R\) 设为随机变量以更贴合市场（如危机期间回收率波动剧烈）。
  • 相关性产品：对于CDO等组合产品，需引入多实体违约的相关性模型（如高斯Copula）。

总结

CDS定价模型将违约概率、回收率、无风险利率挂钩，通过风险中性估值实现。实际中需结合市场报价校准违约曲线，并考虑应计利息、工作日约定等细节。此模型是信用衍生品定价的基石，也为更复杂的结构化产品（如CDO）提供构建模块。

信用违约互换（CDS）的定价模型 信用违约互换（CDDS）的定价模型旨在确定信用保护买方应定期支付的费用（即信用利差），以覆盖参考实体违约的风险。其核心思想是通过风险中性定价原理，将预期损失贴现到当前价值。以下是逐步讲解： 1. 基本概念与现金流结构 CDS合约双方 ： 保护买方 ：定期支付固定利差（保费）给保护卖方，以换取违约保护。 保护卖方 ：在参考实体发生信用事件（如违约）时，向买方支付损失金额。 现金流场景 ： 无违约时 ：买方在每期支付日支付利差，直至合约到期。 违约时 ：支付立即终止，卖方向买方支付违约损失（面值减去回收额）。 2. 定价模型的核心组件 定价需计算两部分现金流的现值（PV），并在风险中性测度下使其相等： (1) 保费端现值（Premium Leg PV） 买方支付的预期保费现值： \[ PV_ {\text{premium}} = S \times \sum_ {i=1}^{n} DF(t_ i) \cdot Q(t_ i) \cdot \Delta t_ i \] \(S\)：年化信用利差（待求解的定价目标）。 \(DF(t_ i)\)：期限 \(t_ i\) 的无风险贴现因子。 \(Q(t_ i)\)：参考实体在时间 \(t_ i\) 前不违约的概率（生存概率）。 \(\Delta t_ i\)：支付区间的年化时间长度。 应计利息调整 ：若违约发生在两个支付日之间，买方需支付已产生的应计利差，需在公式中添加应计利息项。 (2) 保护端现值（Protection Leg PV） 卖方支付的预期违约损失现值： \[ PV_ {\text{protection}} = (1-R) \times \sum_ {j=1}^{m} DF(\tau_ j) \cdot P(\tau_ j \in [ t_ {j-1}, t_ j ]) \] \(R\)：违约后的回收率（通常假设为固定值，如40%）。 \(\tau_ j\)：违约时间，\(P(\tau_ j)\) 是违约时间在区间 \([ t_ {j-1}, t_ j]\) 内的概率（由生存概率推导：\(Q(t_ {j-1}) - Q(t_ j)\)）。 实践中常使用连续时间近似： \[ PV_ {\text{protection}} \approx (1-R) \int_ {0}^{T} DF(t) \cdot (-dQ(t)) \] 其中 \(-dQ(t)\) 是违约概率密度。 3. 利差求解与市场报价 在合约起始时，双方现金流现值应相等（无套利）： \[ PV_ {\text{premium}} = PV_ {\text{protection}} \] 解得信用利差： \[ S = \frac{PV_ {\text{protection}}}{PV_ {\text{premium}} / S} = \frac{(1-R) \int_ {0}^{T} DF(t) \cdot (-dQ(t))}{\sum_ {i=1}^{n} DF(t_ i) \cdot Q(t_ i) \cdot \Delta t_ i} \] 市场惯例 ：CDS利差通常按季度支付，并基于标准化的日期计算（如IMM日期）。 前期费用（Upfront Payment） ：若市场利差与合约利差不同，通过前期费用调整（例如，在CDS标准化后使用固定利差+前期费用模式）。 4. 生存概率与违约强度模型 生存概率 \(Q(t)\) 的推导是关键，常用方法包括： (1) 违约强度模型（简化模型） 假设违约时间 \(\tau\) 服从强度为 \(\lambda(t)\) 的泊松过程： \[ Q(t) = \exp\left( -\int_ {0}^{t} \lambda(s) ds \right) \] \(\lambda(t)\) 可从市场CDS利差曲线中 反向校准 ：通过不同期限的CDS报价， bootstrap 出分段常数违约强度。 例如，若已知1年、3年、5年CDS利差，可依次解出 \(\lambda_ {0-1}, \lambda_ {1-3}, \lambda_ {3-5}\)。 (2) 与债券利差的关系 若存在相同参考实体的债券，其信用利差（Z-spread）应与CDS利差接近（忽略基差风险），否则存在套利机会。 5. 复杂情形与模型扩展 对手方信用风险 ：若保护卖方可能违约，需使用双边信用价值调整（CVA/DVA）修正定价。 随机回收率 ：将回收率 \(R\) 设为随机变量以更贴合市场（如危机期间回收率波动剧烈）。 相关性产品 ：对于CDO等组合产品，需引入多实体违约的相关性模型（如高斯Copula）。 总结 CDS定价模型将违约概率、回收率、无风险利率挂钩，通过风险中性估值实现。实际中需结合市场报价校准违约曲线，并考虑应计利息、工作日约定等细节。此模型是信用衍生品定价的基石，也为更复杂的结构化产品（如CDO）提供构建模块。