随机规划中的风险偏好建模与效用理论 第一步：风险的基本概念与分类 在随机规划中，风险是指决策结果的不确定性所带来的潜在损失或偏离期望的可能性。风险可以分为： 纯粹风险 ：只有损失或无损失两种可能，如灾害事件。 投机风险 ：可能带来损失或收益，如金融投资。 系统性风险 ：影响整个市场或系统的风险，不可通过分散化消除。 非系统性风险 ：特定于个体或项目的风险，可通过分散化降低。 第二步：风险偏好的定义与类型 决策者对风险的态度称为风险偏好，分为三类： 风险厌恶 ：倾向于选择确定性收益而非同等期望值的随机收益。例如，宁愿接受100元确定收益，而非50%概率获得200元。 风险中性 ：仅根据期望值决策，对风险本身无偏好。 风险追求 ：偏好不确定性带来的潜在高收益。 第三步：效用理论的核心思想 效用理论通过数学函数量化决策者对结果的主观价值。设决策结果对应的财富水平为 \( x \)，效用函数 \( U(x) \) 满足： 单调性 ：\( U'(x) > 0 \)，财富增加则效用增加。 风险厌恶与凸性 ：若 \( U''(x) < 0 \)，函数为凹函数，对应风险厌恶；若 \( U''(x) > 0 \)，对应风险追求。 确定性等值 ：随机收益的效用期望等于某确定性收益的效用时，该确定性收益称为确定性等值。 第四步：常见效用函数形式 指数效用函数 ：\( U(x) = 1 - e^{-ax} \)（\( a > 0 \)），适用于常数绝对风险厌恶。 幂效用函数 ：\( U(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma} \)（\( \gamma \neq 1 \)），适用于常数相对风险厌恶。 对数效用函数 ：\( U(x) = \ln(x) \)，是幂效用在 \( \gamma \to 1 \) 时的极限情况。 第五步：风险偏好与随机规划的结合 在随机规划模型中，目标函数可定义为期望效用最大化： \[ \max \, \mathbb{E}[ U(f(x, \xi)) ] \] 其中 \( x \) 为决策变量，\( \xi \) 为随机参数。通过选择不同效用函数，可灵活反映决策者的风险偏好。例如，风险厌恶者使用凹函数会倾向于更保守的决策。 第六步：应用实例——投资组合优化 假设有两种资产：无风险资产收益 \( r_ f \)，风险资产随机收益 \( \tilde{r} \)。投资者初始财富为 \( W_ 0 \)，投资于风险资产的比例为 \( w \)。期望效用最大化问题为： \[ \max_ {w} \, \mathbb{E}[ U(W_ 0 (1 + r_ f + w(\tilde{r} - r_ f))) ] \] 通过求解一阶条件，可得到最优投资比例 \( w^* \)，其值随风险厌恶程度增加而减小。 第七步：与风险度量的关联 效用理论可与风险度量（如CVaR）结合，形成多目标优化或约束形式。例如，在期望效用基础上增加风险约束： \[ \mathbb{E}[ U(f(x, \xi))] \geq \eta, \quad \text{CVaR}_ \alpha(f(x, \xi)) \leq \beta \] 此类模型能同时兼顾期望收益与风险控制，适用于金融、能源等领域的高风险决策。