可测函数的等度可积性
字数 2151 2025-11-06 12:40:40

可测函数的等度可积性

1. 基础概念回顾
在理解等度可积性之前，我们需要明确几个基本概念：

  • 可测函数： 设 (X, 𝒜, μ) 是一个测度空间。一个函数 f: X → ℝ（或扩展实数轴）被称为可测的，如果对于每个实数 c，集合 {x ∈ X | f(x) > c} 属于 𝒜。
  • 可积性： 一个可测函数 f 被称为（勒贝格）可积的，如果其绝对值 |f| 的积分是有限的，即 ∫_X |f| dμ < ∞。这保证了 f 的正部和负部都是可积的。
  • 函数族： 一个函数族 ℱ 是一组函数的集合，例如 ℱ = {f_n}（一个函数序列）或 ℱ = {f_t}（一个以参数 t 索引的函数集合）。

2. 一致可积性的动机
考虑一个函数序列 {f_n}，其中每个 f_n 都是可积的，并且该序列在某种意义下收敛（例如，几乎处处收敛或依测度收敛）于一个函数 f。一个自然的问题是：在什么条件下，这个极限函数 f 也是可积的，并且序列的积分收敛于极限函数的积分，即 ∫_X f_n dμ → ∫_X f dμ？
单调收敛定理和控制收敛定理提供了部分答案，但它们要求序列是单调的或存在一个共同的可积控制函数。一致可积性是一个更弱、更精细的条件，它在许多情况下（尤其是在概率论中）能保证积分的收敛性。

3. 一致可积性的定义
设 (X, 𝒜, μ) 是一个测度空间，且 μ(X) < ∞（即有限测度空间）。一个函数族 ℱ 被称为是一致可积的（或等度可积的），如果它满足以下两个条件：

  1. 一致有界的 L¹ 范数： sup_{f ∈ ℱ} ∫_X |f| dμ < ∞。这意味着族中所有函数的积分绝对值有一个共同的上界。
  2. 积分在集合上的“一致连续性”： 对于任意 ε > 0，存在一个 δ > 0，使得对于所有满足 μ(A) < δ 的可测集 A ∈ 𝒜，以及所有 f ∈ ℱ，都有 ∫_A |f| dμ < ε。
    直观上，第二个条件意味着，对于族 ℱ 中的任何一个函数，当积分区域 A 的测度变得非常小时，其上的积分值也会一致地变得非常小。这防止了函数的质量“聚集”在测度很小的集合上。

4. 等价刻画
一致可积性有一个非常实用且常见的等价定义，它通常更容易验证：
一个函数族 ℱ 是一致可积的，当且仅当：

\[ \lim_{M \to \infty} \sup_{f \in \mathcal{F}} \int_{\{|f| > M\}} |f| \, d\mu = 0 \]

这个等式的含义是：对于族 ℱ 中的所有函数 f，考虑那些使得 |f(x)| 很大的点（即 |f(x)| > M），在这些点集合上的积分，当阈值 M 趋向于无穷大时，会一致地（即对族中所有函数而言，上确界 sup）趋向于零。
换句话说，无论你选择族中的哪个函数，其“尾部”的质量（由大函数值贡献的积分部分）都可以通过取足够大的 M 来一致地控制得任意小。

5. 与收敛定理的关系
一致可积性是维尔丹金（Vitali）收敛定理的核心条件。该定理的一个常见形式如下：
设 (X, 𝒜, μ) 是有限测度空间，{f_n} 是一列可测函数，且 f_n 几乎处处收敛于 f。那么，以下陈述等价：

  1. {f_n} 是一致可积的。
  2. f 是可积的，并且 f_n 在 L¹ 范数下收敛于 f，即 ∫_X |f_n - f| dμ → 0。
  3. f 是可积的，并且 ∫_X f_n dμ → ∫_X f dμ。
    这个定理表明，在几乎处处收敛的前提下，一致可积性等价于更强的 L¹ 收敛，从而保证了积分与极限的可交换性。

6. 例子

  • 非等度可积的例子： 考虑测度空间 ([0,1], 勒贝格测度)。定义函数序列 f_n(x) = n χ_{[0,1/n]}(x)，其中 χ 是示性函数。每个 f_n 都是可积的，且 ∫ f_n = 1。然而，这个序列不是一致可积的。因为对于任意固定的 M > 0，当 n > M 时，集合 {|f_n| > M} 实际上就是 [0, 1/n]（因为 f_n 在这个区间上等于 n > M）。在这个测度很小（=1/n）的集合上，积分 ∫_{|f_n|>M} f_n = 1 并不趋于零。事实上，f_n 几乎处处收敛于 0，但积分不收敛于 0。
  • 等度可积的例子： 如果存在一个可积函数 g，使得对于所有 f ∈ ℱ 和几乎所有 x，都有 |f(x)| ≤ g(x)，那么根据控制收敛定理，ℱ 是一致可积的。这被称为控制条件，它是一致可积性的一个充分条件（但在 μ(X) = ∞ 时，控制条件更强）。

7. 推广与意义

  • 当测度空间是 σ-有限或无限时，一致可积性的定义需要稍作调整，但核心思想不变。
  • 在概率论中，随机变量序列的一致可积性是一个极其重要的概念。它等价于该序列在 L¹ 空间中的一致绝对连续性，并且与一致可积鞅的收敛理论密切相关。
  • 一致可积性是分析函数列极限行为、研究 Lp 空间性质以及建立各种收敛定理的有力工具。它精确地刻画了“积分运算与极限运算可交换”所需的条件，避免了过强的单调性或控制性假设。
可测函数的等度可积性 1. 基础概念回顾 在理解等度可积性之前，我们需要明确几个基本概念： 可测函数： 设 (X, 𝒜, μ) 是一个测度空间。一个函数 f: X → ℝ（或扩展实数轴）被称为可测的，如果对于每个实数 c，集合 {x ∈ X | f(x) > c} 属于 𝒜。 可积性： 一个可测函数 f 被称为（勒贝格）可积的，如果其绝对值 |f| 的积分是有限的，即 ∫_ X |f| dμ < ∞。这保证了 f 的正部和负部都是可积的。 函数族： 一个函数族 ℱ 是一组函数的集合，例如 ℱ = {f_ n}（一个函数序列）或 ℱ = {f_ t}（一个以参数 t 索引的函数集合）。 2. 一致可积性的动机 考虑一个函数序列 {f_ n}，其中每个 f_ n 都是可积的，并且该序列在某种意义下收敛（例如，几乎处处收敛或依测度收敛）于一个函数 f。一个自然的问题是：在什么条件下，这个极限函数 f 也是可积的，并且序列的积分收敛于极限函数的积分，即 ∫_ X f_ n dμ → ∫_ X f dμ？ 单调收敛定理和控制收敛定理提供了部分答案，但它们要求序列是单调的或存在一个共同的可积控制函数。一致可积性是一个更弱、更精细的条件，它在许多情况下（尤其是在概率论中）能保证积分的收敛性。 3. 一致可积性的定义 设 (X, 𝒜, μ) 是一个测度空间，且 μ(X) < ∞（即有限测度空间）。一个函数族 ℱ 被称为是 一致可积的 （或 等度可积的 ），如果它满足以下两个条件： 一致有界的 L¹ 范数： sup_ {f ∈ ℱ} ∫_ X |f| dμ < ∞。这意味着族中所有函数的积分绝对值有一个共同的上界。 积分在集合上的“一致连续性”： 对于任意 ε > 0，存在一个 δ > 0，使得对于所有满足 μ(A) < δ 的可测集 A ∈ 𝒜，以及所有 f ∈ ℱ，都有 ∫_ A |f| dμ < ε。 直观上，第二个条件意味着，对于族 ℱ 中的任何一个函数，当积分区域 A 的测度变得非常小时，其上的积分值也会一致地变得非常小。这防止了函数的质量“聚集”在测度很小的集合上。 4. 等价刻画 一致可积性有一个非常实用且常见的等价定义，它通常更容易验证： 一个函数族 ℱ 是一致可积的，当且仅当： \[ \lim_ {M \to \infty} \sup_ {f \in \mathcal{F}} \int_ {\{|f| > M\}} |f| \, d\mu = 0 \] 这个等式的含义是：对于族 ℱ 中的所有函数 f，考虑那些使得 |f(x)| 很大的点（即 |f(x)| > M），在这些点集合上的积分，当阈值 M 趋向于无穷大时，会 一致地 （即对族中所有函数而言，上确界 sup）趋向于零。 换句话说，无论你选择族中的哪个函数，其“尾部”的质量（由大函数值贡献的积分部分）都可以通过取足够大的 M 来一致地控制得任意小。 5. 与收敛定理的关系 一致可积性是维尔丹金（Vitali）收敛定理的核心条件。该定理的一个常见形式如下： 设 (X, 𝒜, μ) 是有限测度空间，{f_ n} 是一列可测函数，且 f_ n 几乎处处收敛于 f。那么，以下陈述等价： {f_ n} 是一致可积的。 f 是可积的，并且 f_ n 在 L¹ 范数下收敛于 f，即 ∫_ X |f_ n - f| dμ → 0。 f 是可积的，并且 ∫_ X f_ n dμ → ∫_ X f dμ。 这个定理表明，在几乎处处收敛的前提下，一致可积性等价于更强的 L¹ 收敛，从而保证了积分与极限的可交换性。 6. 例子 非等度可积的例子： 考虑测度空间 ([ 0,1], 勒贝格测度)。定义函数序列 f_ n(x) = n χ_ {[ 0,1/n]}(x)，其中 χ 是示性函数。每个 f_ n 都是可积的，且 ∫ f_ n = 1。然而，这个序列不是一致可积的。因为对于任意固定的 M > 0，当 n > M 时，集合 {|f_ n| > M} 实际上就是 [ 0, 1/n]（因为 f_ n 在这个区间上等于 n > M）。在这个测度很小（=1/n）的集合上，积分 ∫_ {|f_ n|>M} f_ n = 1 并不趋于零。事实上，f_ n 几乎处处收敛于 0，但积分不收敛于 0。 等度可积的例子： 如果存在一个可积函数 g，使得对于所有 f ∈ ℱ 和几乎所有 x，都有 |f(x)| ≤ g(x)，那么根据控制收敛定理，ℱ 是一致可积的。这被称为 控制条件 ，它是一致可积性的一个充分条件（但在 μ(X) = ∞ 时，控制条件更强）。 7. 推广与意义 当测度空间是 σ-有限或无限时，一致可积性的定义需要稍作调整，但核心思想不变。 在概率论中，随机变量序列的一致可积性是一个极其重要的概念。它等价于该序列在 L¹ 空间中的 一致绝对连续性 ，并且与 一致可积鞅 的收敛理论密切相关。 一致可积性是分析函数列极限行为、研究 Lp 空间性质以及建立各种收敛定理的有力工具。它精确地刻画了“积分运算与极限运算可交换”所需的条件，避免了过强的单调性或控制性假设。