复变函数的哈纳克原理 我们先从调和函数的基本性质开始。调和函数是满足拉普拉斯方程的函数，在复变函数中与解析函数的实部或虚部密切相关。若解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部u和虚部v均为调和函数，即满足∇²u=0和∇²v=0。 现在考虑一个圆盘区域D及其闭包。若有一族在D内调和、在闭包上连续的函数，且该族函数在边界上一致有界，那么哈纳克原理指出，这族函数在D的任意紧子集上也是一致有界的。更精确地，设{u_ n}是D内的调和函数序列，若存在常数M使得对所有n和边界点ζ都有|u_ n(ζ)|≤M，则对任意紧子集K⊂D，存在常数C_ K（仅依赖于K和D的几何形状）使得在K上满足|u_ n(z)|≤C_ K M。 哈纳克原理的一个关键应用是调和函数的收敛性。若调和函数序列{u_ n}在区域Ω内单调递增（即对每个z，u_ n(z)随n增加而递增），且存在某点z_ 0使得{u_ n(z_ 0)}有界，则{u_ n}在Ω的任意紧子集上一致收敛于一个调和函数。证明需利用调和函数的平均值性质：调和函数在圆盘中心的值等于其在边界上的积分平均值。通过构造辅助函数并应用最大值原理，可建立一致有界性，进而由Montel定理得到收敛性。 哈纳克原理还可推广到更一般的区域。例如，若区域Ω的边界满足外部球条件（即存在球与边界相切），则哈纳克不等式可写为更具体的上下界形式。对于正调和函数u（即u>0），在子区域Ω'⊂⊂Ω（表示Ω'紧包含于Ω）上，u的上下界之比由Ω'与Ω的几何距离控制，这反映了正调和函数不能局部振荡过于剧烈。 在复分析中，哈纳克原理常与Harnack不等式结合使用，后者给出了调和函数在不同点值的相对控制。例如，若u是圆盘|z|<R中的正调和函数，则对任意|z|≤r <R，满足(R-r)/(R+r) u(0) ≤ u(z) ≤ (R+r)/(R-r) u(0)。这一不等式可通过泊松积分公式推导，并用于证明调和函数序列的收敛性。 哈纳克原理的深刻性在于它将局部性质与整体性质联系起来。通过边界上的有界性可推断内部紧集上的一致有界性，这为研究调和函数族和解析函数族的紧性提供了重要工具，也是处理狄利克雷问题等边值问题的理论基础。