\*Calkin代数与本质谱\* 我们首先回顾一个基本概念：设X是一个Banach空间，B(X)表示X上的所有有界线性算子构成的代数。在B(X)中，紧算子（即把有界集映射为相对紧集的算子）的集合K(X)构成一个闭的双边理想。 第一步：Calkin代数的定义 Calkin代数定义为有界线性算子代数B(X)模去紧算子理想K(X)所得的商代数： \[ \mathcal{C}(X) = B(X) / K(X) \] 当X是希尔伯特空间时，我们通常记作H，此时Calkin代数为 \(\mathcal{C}(H)\)。 这个商代数赋予了自然的商范数：对于任意有界算子T，其所在的等价类记为[ T ]，商范数定义为 \[ \| [ T] \|_ {\mathcal{C}(X)} = \inf \{ \| T + K \| : K \in K(X) \} \] 这个范数也称为T的 本质范数 ，它衡量了T距离紧算子集合的“远近”。 第二步：本质谱的定义 一个算子的谱集σ(T)是使得(T - λI)不可逆的所有复数λ的集合。在Calkin代数的框架下，我们可以定义更精细的谱概念。 算子T ∈ B(X)的 本质谱 ，记为σ_ ess(T)，定义为T在Calkin代数中的谱： \[ \sigma_ {ess}(T) = \sigma_ {\mathcal{C}(X)}([ T ]) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : (T - \lambda I) \notin \text{Fredholm} \} \] 其中，最后一个等号揭示了本质谱的另一种等价定义：λ不属于σ_ ess(T)当且仅当算子(T - λI)是一个Fredholm算子（即它的核和余核都是有限维的）。 第三步：本质谱的基本性质 包含关系 ：本质谱是通常谱集的一个子集，即σ_ ess(T) ⊂ σ(T)。这是因为如果(T - λI)在Calkin代数中可逆，那么它在B(X)中也可逆（因为商代数的可逆性可以提升到原代数）。 紧扰动不变性 ：本质谱在紧扰动下保持不变。也就是说，对于任意紧算子K，有σ_ ess(T + K) = σ_ ess(T)。这是因为在Calkin代数中，[ T+K] = [ T ]，所以它们的谱相同。 结构 ：对于Hilbert空间H上的正规算子T，其本质谱恰好是它的谱集中那些不是孤立特征值（特征值对应的特征空间是有限维的）的点。 第四步：Calkin代数的结构与本质谱的应用 Calkin代数本身是一个C* -代数（在Hilbert空间情形下）。研究它的代数结构（如理想、同态）和拓扑性质，可以帮助我们深刻理解本质谱。 本质谱在算子理论和数学物理中至关重要，例如： Weyl定理 ：描述了在紧扰动下，算子的谱中只有本质谱部分保持稳定，离散的特征值可能会发生变化。 指标理论 ：Fredholm算子的指标（核的维数减去余核的维数）在紧扰动下不变，并且只依赖于其在Calkin代数中的等价类。 Toeplitz算子 ：在 Hardy 空间上，以连续函数为符号的Toeplitz算子的本质谱可以通过其符号在单位圆周上的值域来确定，这体现了Calkin代数与函数代数的深刻联系。