数学中“范畴论”的起源与发展

第一步：背景与动机（1940年代前）
在范畴论诞生之前，数学的各分支已积累了大量结构与变换。例如：

• 代数拓扑中研究拓扑空间通过“连续映射”关联，并利用群（如同调群、同伦群）刻画拓扑性质。
• 抽象代数中研究群、环、模等代数结构，并通过“同态”比较不同结构。
• 微分几何中研究流形与“光滑映射”。

这些领域共同面临一个问题：如何统一描述“结构”与“保持结构的变换”？ 例如，群同态保留乘法运算，连续映射保留拓扑性质。数学家需要一种语言，能抽象表达不同数学对象间的关联性，而非仅关注对象内部细节。

第二步：基本概念的提出（1940-1950年代）
范畴论由塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克莱恩（Saunders Mac Lane）在1945年正式提出，初衷是解决代数拓扑中的问题。

1. 范畴的定义：

   • 对象（如所有群构成的集合）。
   • 态射（对象间的映射，如群同态）。
   • 态射的组合需满足结合律，且每个对象有恒等态射。
   • 例子：集合范畴（对象为集合，态射为函数）、群范畴（对象为群，态射为群同态）。

2. 函子：

   • 范畴之间的映射，既映射对象，也映射态射，并保持结构与组合关系。
   • 例如：代数拓扑中的“基本群函子”将拓扑空间（对象）映射为群（对象），将连续映射（态射）映射为群同态（态射）。

3. 自然变换：

   • 描述不同函子之间的“映射”，使图表交换。这一概念帮助统一不同构造的相似性。

第三步：公理化与抽象化（1950-1960年代）
亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）在代数几何中推动范畴论的飞跃：

1. 阿贝尔范畴：
   • 抽象自模范畴，允许在同调代数中进行核、上核等操作，成为层上同调的理论基础。
2. 层论与范畴结合：
   • 将拓扑空间上的函数环替换为更一般的“层”，利用范畴语言定义“景”（Grothendieck拓扑），突破流形限制，研究概形。

第四步：范畴论的独立与扩张（1970年代至今）

1. 高阶范畴与范畴化：
   • 从“态射”推广到“态射之间的态射”（2-范畴、∞-范畴），用于描述拓扑量子场论、同伦论等复杂结构。
2. 计算机科学的应用：
   • 类型论与范畴论结合（如笛卡尔闭范畴与λ演算），为程序语言语义提供数学模型。
3. 基础数学的重构：
   • 尝试用范畴替代集合论作为数学基础（如拓扑斯理论）。

总结：范畴论从具体数学问题的工具，演变为描述数学本质的元语言，其核心思想是通过对象间的关系而非内部结构定义性质，体现了现代数学对“关系”与“结构”的深刻洞察。