模形式的自守L函数的特殊值与BSD猜想 我们先从模形式与L函数的基本关系开始。设f是一个权为k、级为N的本原模形式，其傅里叶展开为f(z) = ∑a_ n q^n (q=e^{2πiz})。与f关联的自守L函数定义为L(f,s) = ∑a_ n n^{-s}，在Re(s) > k/2 + 1时绝对收敛。 这个L函数可以解析延拓到整个复平面，并满足一个函数方程。函数方程将L(f,s)与L(f,k-s)联系起来。函数方程中有一个“中心点”s=k/2，这个点具有特殊的算术意义。 现在，我们考虑f是一个权为2的新形式（newform）的情况，并且其傅里叶系数a_ n都是有理整数。根据谷山-志村猜想（现在已是定理）的一个特例，这样的模形式f对应于一条定义在有理数域Q上的椭圆曲线E。具体对应关系是：椭圆曲线E的Hasse-Weil L函数L(E,s)恰好等于模形式f的自守L函数L(f,s)。 BSD猜想（Birch和Swinnerton-Dyer猜想）试图描述椭圆曲线E的算术性质与其L函数L(E,s)在中心点s=1处的行为之间的深刻联系。 阶的部分 ：BSD猜想预言，L(E,s)在s=1处的零点阶数r等于椭圆曲线E的有理点群E(Q)的秩。也就是说，ord_ {s=1} L(E,s) = rank(E(Q))。这里的“阶”指的是L函数在s=1处泰勒展开的最低次项。 首项系数的部分 ：BSD猜想更进一步，它给出了L(E,s)在s=1处的泰勒展开首项系数的精确公式： L(E,s) = c * (s-1)^r + 高次项 其中常数因子c由椭圆曲线E的一系列重要的算术不变量给出： c = (Ω_ E * Reg_ E * ∏ p c_ p * |Ш(E/Q)|) / (|E(Q) {tors}|^2) Ω_ E ：椭圆曲线E的实周期。它可以通过对E的一个极小Néron微分形式在实点集E(R)上的积分来计算，反映了E的整体“大小”。 Reg_ E ：椭圆曲线E的有理点群E(Q)的Regulator。如果秩r=0，则Reg_ E=1。如果r>0，它由E(Q)的一组基（模去挠部分）的高度矩阵的行列式给出，度量了有理点分布的“稀疏程度”。 ∏_ p c_ p ：所有素数p上的Tamagawa数的乘积。对于绝大多数素数p（好约化素数），c_ p=1。对于有限个坏约化素数（奇点约化），c_ p是椭圆曲线在Q_ p上的特殊纤维的连通分量的个数，是一个小的正整数。 |Ш(E/Q)| ：椭圆曲线E的Tate-Shafarevich群的大小。这个群度量了“局部-全局原理”对于E的失效程度，是BSD猜想中最神秘、最难计算的部分。 |E(Q)_ {tors}| ：椭圆曲线E的有理点群的挠部分（有限阶点群）的阶。 因此，模形式f的自守L函数L(f,s)在中心点s=1处的特殊值（对于r=0的情况，就是L(E,1)本身；对于r>0的情况，是泰勒展开的首项系数）包含了其对应椭圆曲线E的大量深刻的算术信息。 BSD猜想在秩为0和1的情况下已经被大量计算证据所支持，并且对于一类特殊的椭圆曲线（模曲线）在秩为0和1的情况下已被证明（Gross-Zagier公式，Kolyvagin的工作等）。但对于更高秩的情况，该猜想仍然是一个悬而未决的重大难题。理解模形式自守L函数的特殊值，是通往解决BSD猜想的核心路径。