数学课程设计中的数学化（Mathematising）过程教学

字数 2061 2025-11-06 12:40:49

数学课程设计中的数学化（Mathematising）过程教学

好的，我们开始学习一个新的词条。数学化是数学教育的核心过程之一，理解它对于设计高质量的数学课程至关重要。

第一步：数学化的基本概念——从现实世界到数学世界

首先，我们来理解“数学化”这个词最根本的含义。它指的是将一个现实世界中的情境、问题或现象，转化或组织成一个数学问题的过程。

核心思想：我们周围的世界并非天然由方程和公式构成。数学化是我们运用数学的眼光去观察、分析和理解这个世界的能力。例如，当你看到一座山，你思考的是它的坡度（一个三角函数问题）；当你计划一次旅行，你计算的是时间、速度和距离（一个比例关系问题）。这个“看到”数学、“提出”数学问题的过程，就是数学化。
一个简单的例子：你有一个长方形的花园，你想知道需要买多长的篱笆来围住它。现实问题是“需要多长的篱笆？”。数学化就是将这个问题转化为一个数学任务：“计算这个长方形的周长”。你忽略了花园的颜色、里面的花朵，只抽象出“长”和“宽”这两个数学属性，并应用公式周长 = 2 × (长 + 宽)。

第二步：数学化的两个方向——水平数学化与垂直数学化

荷兰数学教育家汉斯·弗赖登塔尔对此进行了精辟的划分，将数学化分为两个密切相关的过程：

水平数学化：这是在“现实世界”与“数学世界”之间架设桥梁的过程。
- 定义：将现实情境中的问题和对象，转化为数学符号、模型和关系。
- 关键活动：识别相关的数学元素、做出假设、建立变量、创建数学模型（如方程、图表、几何图形）。
- 接续上面的例子：认识到“花园的边界”对应“周长”，“长”和“宽”是关键的数学量，从而将问题转化为“求长方形周长”，这就是水平数学化。
垂直数学化：这是在“数学世界”内部进行加工和推进的过程。
- 定义在数学符号和模型内部进行操作、推演、概括和发现新的数学关系。
- 关键活动：运用数学公式、进行符号运算、寻找更简洁的解法、推广结论、发现规律、建立不同数学概念之间的联系。
- 接续上面的例子：你应用周长公式P=2(l+w)进行计算，或者你进一步思考：“如果长增加1米，周长会增加多少？”（推导出ΔP = 2），甚至推广到所有矩形周长与长宽的关系。这些在数学系统内部的操作就是垂直数学化。

第三步：课程设计中如何体现数学化过程——一个教学序列设计

一个优秀的数学课程设计，不应只呈现垂直数学化（即现成的公式和解法），而应有意识地引导学生经历完整的数学化过程。以下是一个针对“平行四边形面积”的教学设计示例，展示了如何循序渐进地设计：

创设真实或有意义的情境（启动水平数学化）：
- 任务：展示一个平行四边形的草坪（或卡片），提出问题：“如何计算这块草坪的面积？我们没有现成的公式，你能利用之前学过的知识来解决吗？”
- 设计意图：将学生置于一个需要“化现实为数学”的起点，激发其进行水平数学化的需求。学生需要识别出“面积”是核心数学概念，并联系已知（如长方形面积）。
引导探索与模型构建（完成水平数学化）：
- 任务：提供方格纸、剪刀、平行四边形纸片等学具。引导学生活动：“你能通过剪一剪、拼一拼，把这个平行四边形变成我们学过的图形吗？”
- 设计意图：学生通过动手操作，实际地将平行四边形（现实模型）进行“转化”（切割、平移），最终“建构”出长方形模型。这个过程是水平数学化的核心——学生自己建立了从平行四边形到长方形的数学联系。
建立数学联系与公式推导（进行垂直数学化）：
- 任务：引导学生观察拼成的长方形与原平行四边形的关系：“新长方形的长和宽，分别对应原平行四边形的什么？”“你能根据长方形的面积公式，推导出平行四边形的面积公式吗？”
- 设计意图：此时学习活动完全在数学世界内部进行。学生通过逻辑推理，建立“底”对应“长”，“高”对应“宽”的关系，最终垂直地推导出面积 = 底 × 高。
回归与应用（完成数学化循环）：
- 任务：给出多个不同形态的平行四边形，让学生应用公式计算面积。也可以提出新情境：“一个零件的横截面是平行四边形，已知底和高，求面积。”
- 设计意图：让学生将获得的数学工具（公式）重新应用于解决（类似的）现实问题，完成从数学世界回到现实世界的循环，巩固数学化的成果。

第四步：数学化过程教学的设计要点与价值

在设计课程时，请牢记以下几点：

重点：设计的重点应放在让学生亲身经历“如何想到”这个数学模型或方法，而不仅仅是“如何套用”公式。
教师角色：教师不再是知识的直接授予者，而是学生数学化过程的引导者、促进者，设计能激发数学化思考的任务和问题。
价值：这种教学方式深刻培养了学生的数学核心素养，特别是数学建模能力和数学抽象能力。它让学生理解数学不是一堆孤立的、冰冷的规则，而是一套强大的、用于理解和改造世界的活的思想工具。

总结来说，数学课程设计中的数学化过程教学，就是有意识地将教学重点从传授数学结论，转向引导学生亲历“从现实到数学”再“在数学内部发展”的完整思维过程。

数学课程设计中的数学化（Mathematising）过程教学好的，我们开始学习一个新的词条。数学化是数学教育的核心过程之一，理解它对于设计高质量的数学课程至关重要。第一步：数学化的基本概念——从现实世界到数学世界首先，我们来理解“数学化”这个词最根本的含义。它指的是将一个现实世界中的情境、问题或现象，转化或组织成一个数学问题的过程。核心思想：我们周围的世界并非天然由方程和公式构成。数学化是我们运用数学的眼光去观察、分析和理解这个世界的能力。例如，当你看到一座山，你思考的是它的坡度（一个三角函数问题）；当你计划一次旅行，你计算的是时间、速度和距离（一个比例关系问题）。这个“看到”数学、“提出”数学问题的过程，就是数学化。一个简单的例子：你有一个长方形的花园，你想知道需要买多长的篱笆来围住它。现实问题是“需要多长的篱笆？”。数学化就是将这个问题转化为一个数学任务：“计算这个长方形的周长”。你忽略了花园的颜色、里面的花朵，只抽象出“长”和“宽”这两个数学属性，并应用公式周长 = 2 × (长 + 宽) 。第二步：数学化的两个方向——水平数学化与垂直数学化荷兰数学教育家汉斯·弗赖登塔尔对此进行了精辟的划分，将数学化分为两个密切相关的过程：水平数学化：这是在“现实世界”与“数学世界”之间架设桥梁的过程。定义：将现实情境中的问题和对象，转化为数学符号、模型和关系。关键活动：识别相关的数学元素、做出假设、建立变量、创建数学模型（如方程、图表、几何图形）。接续上面的例子：认识到“花园的边界”对应“周长”，“长”和“宽”是关键的数学量，从而将问题转化为“求长方形周长”，这就是水平数学化。垂直数学化：这是在“数学世界”内部进行加工和推进的过程。定义在数学符号和模型内部进行操作、推演、概括和发现新的数学关系。关键活动：运用数学公式、进行符号运算、寻找更简洁的解法、推广结论、发现规律、建立不同数学概念之间的联系。接续上面的例子：你应用周长公式 P=2(l+w) 进行计算，或者你进一步思考：“如果长增加1米，周长会增加多少？”（推导出 ΔP = 2 ），甚至推广到所有矩形周长与长宽的关系。这些在数学系统内部的操作就是垂直数学化。第三步：课程设计中如何体现数学化过程——一个教学序列设计一个优秀的数学课程设计，不应只呈现垂直数学化（即现成的公式和解法），而应有意识地引导学生经历完整的数学化过程。以下是一个针对“平行四边形面积”的教学设计示例，展示了如何循序渐进地设计：创设真实或有意义的情境（启动水平数学化）：任务：展示一个平行四边形的草坪（或卡片），提出问题：“如何计算这块草坪的面积？我们没有现成的公式，你能利用之前学过的知识来解决吗？” 设计意图：将学生置于一个需要“化现实为数学”的起点，激发其进行水平数学化的需求。学生需要识别出“面积”是核心数学概念，并联系已知（如长方形面积）。引导探索与模型构建（完成水平数学化）：任务：提供方格纸、剪刀、平行四边形纸片等学具。引导学生活动：“你能通过剪一剪、拼一拼，把这个平行四边形变成我们学过的图形吗？” 设计意图：学生通过动手操作，实际地将平行四边形（现实模型）进行“转化”（切割、平移），最终“建构”出长方形模型。这个过程是水平数学化的核心——学生自己建立了从平行四边形到长方形的数学联系。建立数学联系与公式推导（进行垂直数学化）：任务：引导学生观察拼成的长方形与原平行四边形的关系：“新长方形的长和宽，分别对应原平行四边形的什么？”“你能根据长方形的面积公式，推导出平行四边形的面积公式吗？” 设计意图：此时学习活动完全在数学世界内部进行。学生通过逻辑推理，建立“底”对应“长”，“高”对应“宽”的关系，最终垂直地推导出面积 = 底 × 高。回归与应用（完成数学化循环）：任务：给出多个不同形态的平行四边形，让学生应用公式计算面积。也可以提出新情境：“一个零件的横截面是平行四边形，已知底和高，求面积。” 设计意图：让学生将获得的数学工具（公式）重新应用于解决（类似的）现实问题，完成从数学世界回到现实世界的循环，巩固数学化的成果。第四步：数学化过程教学的设计要点与价值在设计课程时，请牢记以下几点：重点：设计的重点应放在让学生亲身经历“如何想到”这个数学模型或方法，而不仅仅是“如何套用”公式。教师角色：教师不再是知识的直接授予者，而是学生数学化过程的引导者、促进者，设计能激发数学化思考的任务和问题。价值：这种教学方式深刻培养了学生的数学核心素养，特别是数学建模能力和数学抽象能力。它让学生理解数学不是一堆孤立的、冰冷的规则，而是一套强大的、用于理解和改造世界的活的思想工具。总结来说，数学课程设计中的数学化过程教学，就是有意识地将教学重点从传授数学结论，转向引导学生亲历“从现实到数学”再“在数学内部发展”的完整思维过程。