布林代数 1. 基本定义 布林代数是一种代数结构，由集合 \( B \) 和两个二元运算 \( \land \)（与）、\( \lor \)（或）及一个一元运算 \( \lnot \)（非）组成，满足以下公理： 交换律 ：\( a \land b = b \land a \)，\( a \lor b = b \lor a \) 分配律 ：\( a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) \)，\( a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) \) 单位元 ：存在元素 \( 0 \) 和 \( 1 \)，使得 \( a \lor 0 = a \)，\( a \land 1 = a \) 补元律 ：对任意 \( a \in B \)，存在 \( \lnot a \) 满足 \( a \land \lnot a = 0 \)，\( a \lor \lnot a = 1 \) 2. 核心性质 从公理可推导出： 幂等律 ：\( a \land a = a \)，\( a \lor a = a \) 吸收律 ：\( a \land (a \lor b) = a \)，\( a \lor (a \land b) = a \) 德摩根律 ：\( \lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b \)，\( \lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b \) 对合律 ：\( \lnot (\lnot a) = a \) 3. 实例与模型 最典型的布林代数是二值集合 \( \{0, 1\} \)，其中运算对应逻辑真值表（如 \( 1 \land 0 = 0 \)）。另一个重要模型是 集合代数 ：给定集合 \( S \)，其幂集 \( P(S) \) 以交集、并集和补集分别对应 \( \land, \lor, \lnot \)，\( \emptyset \) 和 \( S \) 对应 \( 0 \) 和 \( 1 \)。 4. 布林函数与表达式 布林函数是形如 \( f: \{0,1\}^n \to \{0,1\} \) 的映射，可通过布林表达式（如 \( (a \land \lnot b) \lor c \)）表示。每个布林函数均可化为 析取范式（DNF） 或 合取范式（CNF） ，例如： DNF：多个子句的析取，每个子句是文字的合取（如 \( (a \land b) \lor (\lnot a \land c) \)） CNF：多个子句的合取，每个子句是文字的析取（如 \( (a \lor \lnot b) \land (\lnot a \lor c) \)） 5. 逻辑电路中的应用 在数字逻辑中，布林代数直接对应门电路： 与门 实现 \( \land \)， 或门 实现 \( \lor \)， 非门 实现 \( \lnot \) 复杂电路可通过布林表达式简化（如用卡诺图或奎因-麦克拉斯基算法优化） 6. 扩展与抽象 布林代数可推广到 布尔环 （其中加法对应异或，乘法对应与运算），或与 格论 关联：布林代数是一种有补分配格，其偏序关系定义为 \( a \le b \) 当且仅当 \( a \land b = a \)。 7. 计算意义 布林代数是计算机科学的基础： 用于电路设计、逻辑优化和硬件验证 作为命题逻辑的语义模型，支持自动推理（如SAT求解器） 在数据库查询优化中用于简化条件表达式