代数簇的Weil除子 代数簇的Weil除子是研究代数几何中除子理论的基本对象，它通过子簇的整数线性组合来描述几何结构。下面从基础概念逐步展开： 1. 仿射簇的不可约闭子集 在仿射代数簇 \( X \) 上，一个 Weil除子 是形如 \( \sum n_ i V_ i \) 的形式和，其中： \( V_ i \) 是 \( X \) 的不可约闭子集（即子簇），且余维数为 1（例如曲线在曲面中）。 \( n_ i \in \mathbb{Z} \) 是系数。 例如，在仿射平面 \( \mathbb{A}^2 \) 中，直线 \( V(x) \) 和曲线 \( V(y^2 - x^3) \) 均可作为除子的分量。 2. 局部环与赋值 对每个余维数为 1 的子簇 \( V \)，其对应的 局部环 \( \mathcal{O}_ {X,V} \) 是离散赋值环（因 \( V \) 在 \( X \) 中正规时成立）。这给出一个赋值 \( \operatorname{ord}_ V \)，对有理函数 \( f \in K(X)^* \)，\( \operatorname{ord}_ V(f) \) 表示 \( f \) 沿 \( V \) 的零点和极点的阶数（例如 \( f = x/y \) 在 \( V(x) \) 上有一阶极点）。 3. 主除子与除子类群 主除子 ：对非零有理函数 \( f \)，定义除子 \( \operatorname{div}(f) = \sum \operatorname{ord}_ V(f) \cdot V \)。 除子类群 \( \operatorname{Cl}(X) \)：Weil除子模主除子得到的群，反映几何性质（如 \( \operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z} \) 由超平面生成）。 4. Cartier除子的关系 在非奇异簇上，Weil除子与 Cartier除子 等价：Cartier除子由局部定义函数给出，而Weil除子通过赋值映射与之对应。奇异情形下，Weil除子更广泛，但Cartier除子可定义可逆层。 5. 应用：相交理论与线性等价 线性等价 ：两个除子之差为主除子时称线性等价（如 \( \operatorname{div}(f) \sim 0 \)），这等价于对应的线丛同构。 相交数 ：通过除子的相交理论，可定义代数曲线上的度（如黎曼面中除子的度与亏格关联）。 通过以上步骤，Weil除子将几何对象（子簇）与代数工具（赋值、函数域）结合，为研究簇的拓扑和算术性质提供基础。