可测函数的等度可测性 基础概念回顾 在实变函数论中，可测函数是连接测度空间与函数性质的核心对象。若 \( (X, \mathcal{F}) \) 是一个可测空间（\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 σ-代数），函数 \( f: X \to \mathbb{R} \) 称为可测的，如果对任意实数 \( a \)，集合 \( \{x \in X: f(x) > a\} \) 属于 \(\mathcal{F}\)。可测性保证了函数可以通过简单函数逼近，并为积分理论奠定基础。 函数族的等度可测性定义 设 \( \{f_ \alpha\} {\alpha \in A} \) 是一族定义在可测空间 \( (X, \mathcal{F}) \) 上的实值可测函数。若存在常数 \( C > 0 \)，使得对任意 \( t > 0 \) 和任意 \( \alpha \in A \)，满足： \[ \mu(\{x \in X: |f \alpha(x)| > t\}) \leq \frac{C}{t}, \] 则称函数族 \( \{f_ \alpha\} \) 具有 等度可测性 。这里 \(\mu\) 是定义在 \( (X, \mathcal{F}) \) 上的测度（如勒贝格测度）。该条件表明，所有函数 \( f_ \alpha \) 的分布函数被一个共同的函数 \( C/t \) 控制，即它们的“尾部”概率一致衰减。 等度可测性的意义 概率背景 ：若 \(\mu(X)=1\)，等度可测性等价于函数族的一致可积性弱化形式，它确保函数族的 \( L^1 \)-范数不会通过“尾部”无限积累。 与 \(L^p\) 空间的关系 ：若函数族一致有界于某个 \( L^p \) 空间（\(p>1\)），则必具有等度可测性（由马尔可夫不等式推得）。但逆命题不成立，等度可测性不要求函数有更高的可积性。 函数极限的应用 ：在讨论函数序列的收敛（如依测度收敛）时，等度可测性可帮助控制极限函数的可积性，避免出现能量“泄漏”到无穷远点的情况。 典型例子与反例 例子 ：在 \([ 0,1]\) 上，函数族 \( f_ n(x) = n \cdot \mathbf{1}_ {[ 0,1/n]}(x) \) 满足等度可测性，因为 \( \mu(\{x: |f_ n(x)| > t\}) \leq \min(1, 1/t) \)。 反例 ：函数族 \( g_ n(x) = n \cdot \mathbf{1}_ {[ 0,1]}(x) \) 不满足等度可测性，因为当 \( t < n \) 时，\( \mu(\{x: |g_ n(x)| > t\}) = 1 \)，无法被 \( C/t \) 一致控制。 与等度可积性的区别 等度可测性仅要求分布函数的一致衰减，而 等度可积性 更强：它要求对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在紧集 \( K \subset \mathbb{R} \) 使得所有 \( f_ \alpha \) 在 \( K^c \) 上的积分一致小于 \(\varepsilon\)。等度可测性是等度可积性的必要条件，但不是充分条件（例如上述 \( f_ n \) 的例子是等度可测的，但不是等度可积的）。 在分析中的应用 等度可测性常用于证明函数族的弱紧性（如在 \( L^1 \) 空间中），或研究函数序列的收敛性与积分交换顺序的问题。它是处理无界函数族时的一个基本工具，尤其在概率论和偏微分方程中常见。