索末菲-库默尔函数与抛物柱面函数的关系 我们先从抛物柱面函数的基本定义开始。抛物柱面函数是韦伯微分方程的解： \[ \frac{d^2 y}{dz^2} + \left( \nu + \frac{1}{2} - \frac{z^2}{4} \right) y = 0 \] 其中 \(\nu\) 是一个复参数。这个方程在量子力学（如谐振子）和波动传播中常见。 抛物柱面函数有两个标准解：\(D_ \nu(z)\) 和 \(D_ {-\nu-1}(iz)\)。函数 \(D_ \nu(z)\) 称为抛物柱面函数或韦伯函数，其积分表示为： \[ D_ \nu(z) = \frac{e^{-z^2/4}}{\Gamma(-\nu)} \int_ 0^\infty t^{-\nu-1} e^{-t^2/2 - z t} \, dt, \quad \Re(\nu) < 0 \] 其中 \(\Gamma\) 是伽马函数。此表示在解析延拓后适用于整个复 \(\nu\) 平面。 现在，我们引入索末菲-库默尔函数 \(F(\alpha, \gamma; z)\)，它是合流超几何方程的解： \[ z \frac{d^2 w}{dz^2} + (\gamma - z) \frac{d w}{dz} - \alpha w = 0 \] 其积分表示为库默尔公式： \[ F(\alpha, \gamma; z) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\gamma-\alpha)} \int_ 0^1 e^{z t} t^{\alpha-1} (1-t)^{\gamma-\alpha-1} \, dt, \quad \Re(\gamma) > \Re(\alpha) > 0 \] 关键联系在于，抛物柱面函数 \(D_ \nu(z)\) 可表示为索末菲-库默尔函数的线性组合。具体关系为： \[ D_ \nu(z) = 2^{\nu/2} e^{-z^2/4} \left[ \frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}{2}\right)} F\left(-\frac{\nu}{2}, \frac{1}{2}; \frac{z^2}{2}\right) - \frac{\sqrt{2\pi}\, z}{\Gamma\left(-\frac{\nu}{2}\right)} F\left(\frac{1-\nu}{2}, \frac{3}{2}; \frac{z^2}{2}\right) \right ] \] 此公式通过合流超几何方程的变量变换与韦伯方程关联而得。证明时，将 \(D_ \nu(z)\) 展开为幂级数，并比较其系数与索末菲-库默尔函数的级数表示。 这一关系的意义在于，它将特殊函数族联系起来，使得抛物柱面函数的性质（如渐近行为、递归关系）可通过索末菲-库默尔理论推导。例如，当 \(|z| \to \infty\) 时，\(D_ \nu(z)\) 的渐近展开可由索末菲-库默尔函数的渐近公式导出，应用于波动问题中的远场分析。