量子力学中的Sturm-Liouville理论
1. 基础概念：什么是Sturm-Liouville问题？
Sturm-Liouville理论是处理一类特定二阶线性微分方程的理论。在量子力学中，许多基本方程（如定态薛定谔方程）都可以化为Sturm-Liouville问题的形式。一个标准的Sturm-Liouville问题通常写作：
\[\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + [q(x) + \lambda w(x)]y = 0 \]
其中：
- \(p(x) > 0\)，\(w(x) > 0\) 是给定的函数（权函数）。
- \(q(x)\) 是实值函数。
- \(\lambda\) 是一个参数（在量子力学中通常对应能量）。
- 方程需在区间 \([a, b]\) 上求解，并辅以适当的边界条件（如狄利克雷条件 \(y(a)=y(b)=0\)）。
2. 核心性质：特征值与特征函数
Sturm-Liouville问题的关键结论是：
- 存在可数无穷个实特征值 \(\{\lambda_n\}\)，满足 \(\lambda_0 < \lambda_1 < \cdots \to +\infty\)。
- 每个特征值 \(\lambda_n\) 对应一个唯一（且归一化后）的特征函数 \(y_n(x)\)。
- 这些特征函数在加权内积 \(\langle f, g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)w(x)dx\) 下构成正交完备集，即任意函数可展开为广义傅里叶级数：\(f(x) = \sum_n c_n y_n(x)\)。
3. 与量子力学的联系：定态薛定谔方程
考虑一维势场 \(V(x)\) 中的定态薛定谔方程：
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi \]
通过变形（例如令 \(p(x)=\hbar^2/2m\)，\(q(x)=V(x)\)，\(w(x)=1\)，\(\lambda=E\)），可将其转化为Sturm-Liouville形式。边界条件由势场性质决定（如无限深势阱要求波函数在边界处为零）。
4. 应用示例：一维无限深势阱
在势阱 \(V(x)=0\)（\(0
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \]
边界条件为 \(\psi(0)=\psi(L)=0\)。此问题正是Sturm-Liouville问题（\(p=1, q=0, w=1\)）。解得：
- 特征值（能级）：\(E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\)
- 特征函数（波函数）：\(\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\)
特征函数的正交完备性保证了波函数叠加原理的数学基础。
5. 奇异Sturm-Liouville问题
当区间无界（如 \((-\infty, \infty)\)）或 \(p(x)\) 在端点为零时，问题变为“奇异”。例如，氢原子径向方程中，\(p(x)=x^2\) 在 \(x=0\) 处为零。此时边界条件需改为解在无穷远处有界（平方可积），特征值可能包含连续谱（对应散射态）和离散谱（对应束缚态）。
6. 理论意义：量子力学公理的数学支撑
Sturm-Liouville理论为量子力学提供了关键数学框架：
- 哈密顿算符的本征函数系构成希尔伯特空间的完备基，允许态矢量展开。
- 特征值的离散性解释了能量量子化现象。
- 完备性保证了测量概率的守恒（帕塞瓦尔恒等式）。