博雷尔-σ-代数的正则性
第一步：理解博雷尔-σ-代数的定义与背景
博雷尔-σ-代数（记为 \(\mathcal{B}(X)\)）是定义在拓扑空间 \(X\)（如 \(\mathbb{R}^n\)）上，由所有开集（或等价地，所有闭集）生成的σ-代数。它包含了所有“博雷尔集”，即开集、闭集、可数并/交等操作得到的集合。但仅凭生成定义，我们无法直接判断博雷尔集是否具有“正则性”这一度量性质。
第二步：引入正则性的概念
设 \(X\) 是一个局部紧豪斯多夫空间（如 \(\mathbb{R}^n\)），\(\mu\) 是定义在 \(\mathcal{B}(X)\) 上的一个测度（如勒贝格测度）。正则性分为两类：
- 外正则性：对任意博雷尔集 \(B \in \mathcal{B}(X)\)，有
\[ \mu(B) = \inf \{ \mu(U) \mid B \subseteq U,\ U\text{是开集} \}. \]
即 \(B\) 的测度可由包含它的开集的测度从外部逼近。
2. 内正则性：对任意博雷尔集 \(B \in \mathcal{B}(X)\)，有
\[ \mu(B) = \sup \{ \mu(K) \mid K \subseteq B,\ K\text{是紧集} \}. \]
即 \(B\) 的测度可由其内部紧集的测度从内部逼近。
若两者同时满足，则称 \(\mu\) 是正则博雷尔测度。
第三步：正则性的重要性
正则性建立了拓扑（开集、紧集）与测度之间的联系，使得：
- 复杂博雷尔集的测度可用简单集合（开集、紧集）逼近。
- 为证明积分性质（如连续函数在紧集上的积分逼近）提供基础。
- 在概率论中，正则性允许用紧集逼近事件，简化极限分析。
第四步：正则性的成立条件
关键定理：若 \(X\) 是局部紧豪斯多夫空间，且 \(\mu\) 是 \(\mathcal{B}(X)\) 上的测度，满足：
- \(\mu\) 在紧集上取有限值（\(\mu(K) < \infty\) 对任意紧集 \(K\)）；
- \(\mu\) 是外正则的；
- \(\mu\) 对所有开集内正则（即开集的测度可由内部紧集逼近）；
则 \(\mu\) 是正则博雷尔测度（对所有博雷尔集同时满足内外正则性）。
第五步：具体例子
- 勒贝格测度 在 \(\mathbb{R}^n\) 上是正则博雷尔测度：
- 外正则性：任意博雷尔集 \(B\) 可用开集 \(U \supseteq B\) 逼近，使 \(\mu(U \setminus B)\) 任意小。
- 内正则性：\(B\) 可用紧集 \(K \subseteq B\) 逼近（例如，若 \(B\) 有界，取 \(K\) 为 \(B\) 的闭子集；若 \(B\) 无界，可先截断为有界集再逼近）。
- 概率测度 在完备可分度量空间（如 \(\mathbb{R}^n\)）上自动满足正则性。
第六步：正则性的推广
若 \(X\) 是波兰空间（可分的完备度量空间），则其上的任何有限博雷尔测度自动正则。这体现了拓扑性质与测度结构的深刻关联，也为研究随机过程、遍历理论等提供基石。